Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
х + у + п
со
Р+Я
+ J и 2 ФХ(Х, и)</в. (31)
где Ф0 (и) — выч. Ф (X, и), а Фх (X, а) есть функция, регу-
лярная в окрестности точки Х =--2---д. В силу сделанного предположения каждый из стоящих в формуле (31) интегралов может иметь в точке Х = — — — k простой полюс.
Поэтому функция ср) может иметь в точке
\ = — — — k полюс кратности 2.
В окрестности точки Х = — — & функция Рх+ может быть разложена, таким образом, в ряд Лорана:
Р\ =
А =_i=*__]__t=l__u ..
(и-? + .)' + 1 + $ + .+
Будем искать коэффициенты с<*> и с&\ этого разложения. Прежде всего» в силу (31),
со
(А 9) = выч. j и+1-Х Ф0 (и) du = ~ Ф0П) (0). (32) \—*-к о
Таким образом, обобщенная функция сосредоточена в вершине конуса Р — 0.
Выразим непосредственно функцию с&\ через производные функции 2 (х). Прежде всего при я = 0 формула (32) дает
с(\=Фо(0).
21 Зак. 450. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
Как и в случае 1, мы представим сперва выражение для (Рх+, ср) в виде
со ^
{р\, ?) =-\-f йх+?_1ф0(«)^4-
322 гл. iii. специальные типы обобщенных функций
12
При этом, согласно определению,
1
1 Г , g л
фо(«) = -4 выч. J (1— /)*/ а ф^в, *в)Л.
X —f о
Отсюда получаем:
1 $-2
Ф^О^^-ф^О, 0) выч. 0*' 3 oY =
2
г Шг(х + 1)
= Фа (0, 0) выч. у; -г- .
x--i4r(x + | + l)
В силу известного соотношения для гамма-функции Г(1— х)Т(х) = *
имеем:
sin -их
г(|)г(Х+1) 5щ,(-|-х)г(|)г(-х-|)
r(x + -| + l) sln*(-X) Г(-Х)
Так как, с другой стороны,
lim
(-1)'
г+1
Sin (— лХ)
2
ВЫЧ.
Г Г (Х + 1)
-4 r(^+f+i)"
= (— 1)?+1 [sin тс ( Таким образом,
Г (-|)г(Х+1)
1-,)
п Г (— X)
х=—-
ВЫЧ
х--» г(х+|-+1)
=(-1):
г + 1
sin
(33)
2] § 2. ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 323
(с%, <р)=я(_1)ПГ^(р(о).
г v 2;
т. е. нечетных р и q
с<?я = (— 1) V 8 (х). (35)
Применяя теперь формулу (28) и повторяя дословно соответствующие выкладки, проведенные для случая 2, мы установим, что при четных р и q с^Ъ—О, т. е. функция Р+ имеет в точке Х =— у— к лишь простой полюс. Если же р a q — нечетные числа, то
^i = (-D 2 -^-\ Х
22&&!Г(у+/г)
Х/_Л+ . __?__...__(36)
x^« + -"+a*» а4+1 d*i+J
21*
Учитывая теперь, что
-МО, 0) = 2„2в<р(0).
где 2р и Qg — площади поверхностей сфер единичного радиуса, мы получаем:
гШгШ
(*0-.. *) = (_ 1)*+1 sin ^ К2),Х' 2А?(0). (34)
Если — четное число, то с@)2=0, так как sin^- = 0;
следовательно, когда р и q — четные числа, функция Р\
имеет при Х =— лишь простой полюс. Если же р и
q — нечетные числа, то формула (34) дает нам, поскольку
? 1
Р—1 9„а 0S
324 ГЛ. HI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
При этом первый из интегралов в формуле (37) следует понимать как свободный член лорановского разложения функции
х+-г—*
f(k) = fu+* Ф0(и)4и
о
л
в окрестности точки Х =--^ —я. Значение этого интеграла
есть функционал, сосредоточенный на поверхности Р = 0, который мы сейчас определим. Поскольку
Ф0 (а) = выч. Ф (X, и),
Х=-А
мы заключаем на основании формулы (12):
Ф0 (в) == -г -V—— U а *i («. rt)J L =
" Ф1О. «)Лв.миа
Отсюда
со
У в-*-»Ф0(а)йа =
= -т=^-Г У -2 ФхСв. «).
а а й?а.
Определим теперь функции С-\. Из формулы (31) имеем:
со
?) = / и-*-»Ф0(в)^я +
0
со
и 2 Ф^— -J — k, a} da. (37)
2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 325 С другой стороны, согласно определению, данному в п. 1,
(8l(?-'WT)=
1 г Г q— II р~
= т / -\-v 2 Ф1(в1.«)Л-«« 2
у —+ ? —1
0 dv*
При этом регуляризация интеграла была там определена в точности так же, как и регуляризация интеграла
J и~к~1Ф0(и) du. Следовательно,
— — + к—1
f a-*-i<b0(u)du = -г-(Ф+Л~1\(.Р).<?)). (38)
Из формулы (38) вытекает, в частности, что в случае
четномерного пространства при k ^ функция Ьхк~1^(Р)
полностью определяется заданием квадратичной формы Р. Рассмотрим теперь второй член в формуле (37). Имеем:
1ч. J и+а —~ — k, ujdu =
вы
X:--^-fe О
дик
(39)
Определяемый этим членом функционал сосредоточен, следовательно, в вершине конуса Р—0. Итак,
Л*)
(40)
где a(fc) — обобщенная функция, сосредоточенная в вершине конуса Р — 0 и выражающаяся с помощью функционала (39):
(a(ft), ср)=_
(41)
7i=0
326 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
4Г
(l + f + 0
Используя соотношение Г(1—х)Т(х) = —-, а также
J 4 ' 4 ' sin пх
выражения для Qp, Qq, мы можем переписать эту формулу
в виде
п
sin *(х +-J) Г (-.А
Ф^ °> =-sin^A \v\ У(0)-
sin .A Г(|)Г(_Х)
Если /? и q— четные числа, то стоящая здесь функция регулярна при ~к —--~. Следовательно, Ф^—у, 0^ =
= Ф ^— ~, 0^, откуда
"а
(a<°>, Т) = (_1)«_^Т(0).
Если же р и 47 — нечетные числа, то функция Ф (X, 0) имеет полюс в точке Х =--^- ° этом случае
