Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Р> о
где х = (х1, .... х^) и dx = dxr ... dxn. При ReX^.0 интеграл (2) сходится и представляет собой аналитическую функцию от X. Продолжая аналитически эту функцию на область ReX^O, мы определим функционал (Рх+, 9) для других X.
Будем искать полюсы функционала (Р\, ср). Для этого перейдем в интеграле (2) к биполярным координатам
Xi = rutl.....Хр = ru>p, Xp+l = S(Op+1.....xp+q — S(ap+g.' (3)
где
r = Vx\+ ... * = Vr4+1-4- ..• + *|+a**)- (4)
Тогда интеграл (2) перепишется в виде
(p\, <р) = J (r* — s>fyrP-1gt-ldrdsdQ(pidQ<!d. (5)
Р > о
312 гл. iii. специальные типы обобщенных функций [2
где dQ(p)(а*2(9)) — элемент поверхности сферы единичного радиуса в />-мерном (соответственно, ^-мерном) пространстве. Полагая теперь, как и в п. 1,
ф(г, s) = f9dQ(p)d&(q\ (6)
получим:
со г
(р\, ?) = J* f (г2 — s2f ф (r, sirv-W-idsdr. (7)
о о
Поскольку основная функция ср(х) финитна и бесконечно дифференцируема, функция ф(г, s), определенная по формуле (6), финитна и бесконечно дифференцируема по г2 и s2. Сделав в интеграле (7) замену переменных а = г2, V = S2 и положив
*) = *i(a. »). (8)
получим:
со м
{Р\, cp) = ^J у (в — i>)x Ф1 («• г;) к 3 г; 2 dv du. (9)
о о
Наконец, заменой переменной v— ut мы приведем интеграл (9) к виду
со 1
1 Г X 1 p+q 1 /* g~a
{P\,i)=±j и 2 duj(\—t)4 3 ф^и, /и) Л. (10) 6 о
Из формулы (10) следует, что функционал (Р+, ср) имеет две серии полюсов. Первая серия состоит из полюсов функции
Ф(Х, u)=-j (l—tft 2 ф,(в, ru)fitf. (11)
о
Подобно функции ср), рассмотренной в § 3 гл. I, эта
функция регулярна при всех значениях л, за исключением точек
а = — 1. —2.....—k. :. ..
2] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 313
где n=p-\-q — размерность пространства. При этом
(14)
w=0
Таким образом, выч. (Р+, <р) есть функционал, сосре-
доточенный в вершине конуса.
Итак, имеется две серии особых точек функционала
Х= — 1, —2, .... —k, . . . (15)
и
Х =--2",--2----9--k,...; (15')
выч. (Р+, ср) s особой точке X ес/гг& функционал, сосредоточенный на поверхности конуса Р = 0, если X принадлежит, первой серии, и в вершине конуса Р = 0, если X принадлежит второй серии особых точек. В случае, когда X принадлежит одновременно обеим сериям, картина естественно может усложниться.
Разберем теперь подробно все случаи в отдельности.
Случай 1. Особая точка \ — — k принадлеоюит первой серии особых точек, но не принадлежит второй
в которых она имеет простые полюсы. При этом
Следовательно, выч. Ф (X, и) представляет собой функ-
x — а;
ционал, сосредоточенный на поверхности конуса Р = 0.
С другой стороны, если Ф (X, и)— регулярная функция, то интеграл
л x._p±?_i
{Рх+, <f-) = J и" 2 Ф(Х, a)rfu (13)
о
может иметь еще полюсы в точках
к— 2 ' 2 ' ' ' " 2 ' ' ' "
314 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
При сделанном предположении относительно X интегралы в формуле (17) являются регулярными функциями в окрестности точки Х = — к. Следовательно, функция (Р%, ср) имеет в этой точке полюс первого порядка, причем
р+ч
выч. (Р+, ср) = Г а + 2 Ф0(а)а*а, х—к J
i ^ р-\- Ч
где интеграл при ^ следует понимать в смысле
регуляризоваиного значения. Подставляя сюда выражение (12)
для Ф0 (и) = выч. Ф (X, а), мы получаем: х=— к
выч. (Р+, <р) =
X--к
Итак, выч. P\ есть обобщенная функция, сосредоточен-
х=— /?
ная на конусе Р=0.
серии. Это имеет место всегда, когда размерность пространства n=p-\-q — нечетное число, а также в случае
четномерного пространства, если Х>--
Представим функцию (11) в окрестности точки Х =— к в виде
где Ф0(а) = выч. Ф (X, k), а функция Ф^Х, и) регулярна
x.--к
в окрестности точки Х==— k. Подставляя это выражение в формулу (13), мы получаем:
со
1 f ). I Р+1 1
(Я+. ?)=Т+Т У й " Ф0(«)*«-+-
о
оо
/• XI P+g 1
2 Ф^Х, в) da. (17)
2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 315
Г я=1 ¦^ztU 2 тЧ(". tu)
Следовательно, формула (18) может быть переписана в виде
оо
*гАр\. ср)= / |? («. „)] L
где при я ^ интеграл следует понимать в смысле ре-
гуляризованного значения. С другой стороны, согласно определению, данному в п. 1,
оо
о
. п
где снова при k^--^- интеграл понимается в смысле регу-
ляризованного значения. Но в случае, когда размерность п = jo —J— q пространства — нечетное число, регуляризация написанного интеграла определяется методом аналитического продолжения. Следовательно,
Х=— к
Итак, в точке \ = — k (k = —1, —2, . . .) в случае, когда пространство имеет нечетную размерность п, а также в случае, когда размерность пространства
п — четное число и k «< ~ , обобщенная функция Р\
имеет простой полюс с вычетом
^. Р\ = (~^~* (Я). . (19)
