Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 86

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 125 >> Следующая


о

где ф (г, s) обозначает интеграл от функции, ср /го поверх' ности х\ -f- . . . -f- x| = г2, х2+1 -f- . . . + x2p+q = s2, аллейный «a Написанные здесь интегралы сходятся и совпадают при

k<?±±=^.

Если же

то эти интегралы следует понимать в смысле регуля-ризованных значений.

Укажем, что мы будем понимать под регуляризованными значениями интегралов (11) и (11')- Заметим сначала, что функция ф(г, s), определенная формулой (9), является финитной бесконечно дифференцируемой функцией от г2 и s2.. Делая теперь формально в интеграле (11) замену переменных г2 — и, s2 = v и полагая

Ф(г. 5) = ф1(й, v),

20»

308 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1

8 точку Х== ^~4—2—k (по формулам, указанным в § 3

гл. I), а если размерность п пространства четна, то — как свободный член разложения функции /(X) в ряд

Лорана в окрестности точки X = ^- — 2 — k.

будем иметь:

(8?> (Р), ср) = 1 f.-jj^ (tf*\ (и, «)) [=м Д1 da.

о

В силу сделанного замечания cpi(a, г>) является финитной бесконечно дифференцируемой функцией от и и г». Но тогда

где снова ЧР"(«)— финитная бесконечно дифференцируемая функция. Таким образом,

со

(8<*>(Р)> 4)=\\ и 2 47(a) da. (12)

о

Регуляризация таких интегралов рассматривалась в § 3 гл. I. Правая часть формулы (12) есть значение -^-("+. ^(и))

при Х = ^— 2 — k, где и\-~ функция, равная их при и > 0 и 0 при и ^ 0. Регуляризацией этой функции служит обобщенная функция и\, которая при X Ф—-1, —2, ...

получается аналитическим продолжением и\ из области Re X >—1. При Х =—1,—2, ... эта аналитическая обобщенная функция имеет простые полюсы; обобщенную функцию и+п (й= 1, 2, . . .) мы определили как свободный член разложения Лорана функции и\ в окрестности точки Х = —п.

Таким образом, если размерность n=p-\~q пространства— нечетное число, то регуляризация интеграла (12) определяется как аналитическое продолжение функции

1] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 309

Аналогичным образом определяется регуляризация интеграла (И')- Обобщенные функции b[k) (Р) и Ъ2к) (Р) могут, вообще говоря, и не совпадать. В п. 3 будет показано, что в случае нечетномерного пространства эти функции всегда совпадают, а в случае четномерного пространства размерности п

при & >-y—1 разность b\l\P)—Ь2к) (Р) есть обобщенная

функция, сосредоточенная в вершине конуса Р = 0. Кроме того, в п. 3 будет дано иное, более естественное определение однородных функций, сосредоточенных на поверхности конуса Р = 0.

Отметим, что из определения функций b[7c) (Р) и Ьгк\Р) вытекает непосредственно следующее соотношение:

Ь2к) (Р) = (— 1)к 8(/° (— Р).

До сих пор мы предполагали, что р > 1 и q > 1. Случай, когда р или q равно 1, является особым, поскольку в этом случае теряет смысл переход к биполярным координатам. Приведем определение функций 8^ (Р) и 82^ (Р) для этого случая.

Пусть сначала p — q=l, т. е. Р=х2—у2. Выбирая тогда в качестве локальных координат переменные Р и х, мы получим по аналогии'с формулой (10) следующее определение функции 81^ (х2—у2):

-f-oo — оэ

где интегрирование ведется по паре прямых х2—у2 — 0. Следовательно,

(8?> (*'-/). ?) =

— со ' —со

Интегралы понимаются здесь в смысле регуляризованных значений (здесь снова нетрудно воспользоваться результатами § 3 гл. I),

310 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1

В частности, имеем: т. е.

hi*2 - у2) = ^Ч* —у) +- -^Ч* +у). (13)

Аналогично, если р = 1, но q = п — 1 >• 1. то функции и 8^(Р) определяются по формулам

+ СО

(#(Я).Т)= f <><>

—со 1

со

(4*>(Р). ,) = (-!)»/ (.^(tig^ ,.-.* +

со

о 1

где ф (хи s) есть интеграл функции ср по поверхности xt = const, х* -f- ••• +лгп = 52» деленный на

Если же q—1, но р = п—1 > 1, то функции (Р) и 8з^(Р) определяются по формулам

-}-со

(tf'CP), T) = (-,>'/(^)*[r»-.ii^>]| ^„,(.5)

—оо I п I

со

о **

со

О 1

где ф(г, хп) есть интеграл функции ср по поверхности V3 -U .. . -j- jc2 , = г2, дг„ = const, деленный на г?-1. Все

2] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 311

*) Отметим, что в случае, когда р = 1 или q = 1, можно иногда не усреднять функции ср по сферическим поверхностям. Формулы (14') и (15') можно также представить в следующем виде: если р = 1, то

(*•>«¦>. »)-

где интегрирование ведется по поверхности конуса Р = 0; если же 0=1, то

(Р). *) = / (z^s)* ( 2^) ^ • • •

где снова интегрирование ведется по поверхности конуса Р = 0.

**) Для простоты мы предполагаем всюду дальше, что р ^> 1 и f >1. Однако все получаемые результаты остаются справедливыми и в специальном случае, когда р — 1 или 0 = 1.

написанные интегралы следует понимать в смысле регуля-ризованных значений *).

2. Обобщенная функция Р\. Пусть снова

Р(х) = х\Н-----\-х\— х^ — ... -xp+q (1)

(p-\-q = ri). Определим обобщенную функцию Рх+, где X — комплексное число, по формуле

(Р\, ср)= J* Px(x)<?(x)dx, (2)
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed