Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
dx^rf'^drdsdSWdOP. (6)
304
гл. m. специальные типы Обобщённых функций
Снова можно доказать, что каждый функционал / вида
где da— элемент поверхности S, представим в виде суммы некоторых слоев различных порядков.
В этом параграфе будут рассмотрены различные обобщенные функции, связанные с невырожденной недефинитной квадратичной формой. В nn. 1 и 2 строится конкретная регуляризация некоторых интегралов без использования предельных переходов из комплексной области. В остальных пунктах этого параграфа широко применяется метод, основанный на выходе в комплексную область.
Более простым является комплексный метод и при первом знакомстве мы рекомендуем начать чтение прямо с п. 3, просмотрев предварительно пп. 1—2, которые содержат ряд полезных сведений о дельта-функциях от квадратичной формы.
1. Определение функций b[k) (Р) и §2Ь) (Р). В § 1 были определены обобщенные функции Ьк(Р) для случая такой
бесконечно дифференцируемой функции Р (хх.....хп), что
поверхность Р (хх, .... хп) = 0 не имеет особых точек. Если теперь
Р(хх,----хп) = х\ . . . -\-х\— Xp+i— ... —xp+q (1)
(р -4- q =3z п), то поверхность Р(хи .... хп) — 0 представляет собой конус с особой точкой (вершиной) в начале координат.
В этом случае функцию §W(P) можно определить следующим образом. Так как единственная особенность конуса Р = 0 находится в начале координат, то для функций ср, равных нулю в окрестности начала координат, (8(fc)(P), ср) фактически было определено в § 1:
§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ
(2)
р-о
1] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 305
20 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
Если же ср — произвольная финитная бесконечно дифференцируемая функция, то интеграл (2) может расходиться. Тогда мы определим (8(fc)(P), ср) как регуляризованное значение интеграла (2).
Этот план здесь и будет проводиться; однако мы проведем его элементарно, не опираясь на содержащееся в § 1
определение j wk (ср). р=о
Итак, пусть сначала функция ср (х) обращается в нуль в некоторой окрестности начала координат. После удаления этой окрестности поверхность Р = 0 уже не имеет особых точек. Следовательно, в любой достаточно малой окрестности произвольной точки поверхности Р = 0 можно ввести
новые координаты их= Р, и2, . . ., ипс якобианом * ^ >> 0.
Тогда, согласно определению функции (Я), данному в § 1, имеем:
(8««(Р). т) = (_1,7^[<Ро(*)]Ц/иг...^„, (3)
где интеграл берется по поверхности Р — 0. Это определение не зависит от выбора системы координат иъ . . ., ап.
В самом деле, как было показано в § 1, написанное выражение (5(ft) (Я), <р) совпадает с (—l)fc J* <oft (ср), а потому не зависит
Р=о
от выбора системы координат.
Напишем явное выражение для (о(й)(Р), ср), выбрав координаты ии ип специальным образом.
Будем предполагать, что р > 1 и с7> 1; случай, когда р или с? равно 1, мы рассмотрим особо в конце этого пункта.
Введем биполярные координаты, положив
Xl = rwu . . ., хр~гшр, хр+1 = StLy+lJ . . ., xp+q — su>p+q, (4) где
r = Vx\+ ... + s = Vx%+l-{- ... +x*p+q. (5) Элемент объема в этих координатах задается формулой
dx = гр-У"1 dr ds dQ(p) dQ(q\ (6)
306 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
(1
где <22(р) (<22й)) обозначает элемент поверхности сферы единичного радиуса в р-мерном (соответственно ^-мерном) пространстве. При этом мы имеем:
Р = г2 — s2.
Примем теперь за новую систему координат в пространстве переменные Р, г и биполярные координаты со^. Выражение (6) для элемента объема принимает в этих координатах вид
rfx==i-(r2_ р) а г?-1 dP dr dQ(p) dQ(qK
Согласно определению (3) имеем: (8<*>(Р), т) =
Р) 3
гр~1 dr dQ(p) dQ™ . (7)
Переходя от Р к переменному s = yV2 — Р и замечая, что ^ = - 2^i« полУчаем:
(^(Р), «p) = /(2^i)*[^-l]Lrr*-1rfrdQWdQ«>. (8)
Если теперь положить
ф(г, s) = f ?dQ(ll)dQ{q\ (9)
то формула (8) принимает вид
со
0
При выборе новой системы координат в пространстве вместо координаты г можно было бы взять координату s. Тогда мы пришли бы к эквивалентному выражению
со
(8<*>(Р), ср) =(_!)* f^)k[r^±^]l^ds.(m
j] § 2. функции, связанные с квадратичной формой 307
При сделанном с самого начала предположении, что функция равна нулю в некоторой окрестности начала координат, интегралы (10) и (10') сходятся при любом k. Однако,
если (р — 1)-Ь(Я — 2) > 2k, т. е. k < ^ + ^~2 t т0 ЭТи интегралы сходятся и для любой финитной функции ф(х). Поэтому
при k < - 2- любую из формул (10) и (10') можно
принять за определение функции c^fc)(P). Если же k>P+ 2~~2 » то мы определим (8(i*° (Р), ср) и (b(2k) (Р), ср) как
регуляризованные значения интегралов (10) и (10') в смысле, который несколько ниже будет уточнен.
Таким образом, при р^>1, q >• 1 обобщенные функции. oifc)(P) и 82fc)(P) мы определяем по формулам
со
(«Р> (Р). ,) = / (^)* [*- ±V> ] |_ (П)
со
(8f>(Р), т) = (-1)'/(^П"-,^>]|г_/-,Л. (ПО