Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
/ °Ч> (?) — / "Ч.....«к (?) = /
s s s
По теореме Стокса
s г
где Г — граница поверхности 5. Но, в силу предположений, сделанных о функциях Pi(xx.....хп) (1=1, .... k).
поверхность S или замкнута, или уходит в бесконечность.
В обоих случаях интеграл J* х* = 0, так как форма х* фи-
г
нитна, и следовательно,
s s
Тем самым обобщенная функция d 5(Ри • ¦ ¦• Рк) определена
^ дР? ... дРак И
1 к
функциями Plf . . ., Рк на поверхности Рх = 0, .... Рп = О однозначно.
дт 8 IP РтЛ
Для обобщенных функций Ъ(РХ.....Рк) и- г' '¦''' ¦
дР.1 ... дР к
1 к
имеют место следующие теоремы:
9J § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 303
2. Для обобщенных функций 8 (Ри .... Рк) и их производных имеют место следующие тождества:
Р*8(Рг.....Р*) = 0.
Р^8(ЯХ> .... Pft) = 0,
РгР, ... P*8(Plf .... Р*) = 0.
а также все тождества, получаемые из этих формальным дифференцированием по Ри Рк. Например, последовательно дифференцируя первое тождество по Pit получаем:
8 (Л.....РЛ)-№8р,(Р1.....Р*) = 0.
mb^p.iP,.....р^^р.Ьр^.р^Р,.....Р*) = 0.
Дифференцировать можно по любому набору переменных: например, дифференцируя второе тождество по Pf и Pj, получаем:
5 (Pi.....Р*) + Pi 8р, (Pt.....Р*) -f Р^ 8^ (Р,.....Рк) +
+ Р.Р/0р.р (Рх.....Р*)=0.
Доказательства этих фактов проводятся аналогично тому, как это выше делалось для 8(Р), и мы их опускаем.
В заключение заметим, что аналогично предыдущему, можно определить т-кратный слой как функционал вида
/ 2 м*)&(а)(Рь.... р*)
где
(а1г .... ак), | а [ = ссх -f- ... -f-aftt
*<«>,р р , а1 ''»(Plt .... Pfc)
6 dP?...dP-* '
В частности, простой слой отвечает формуле (,х8 (Рх, .....Р*), <р) =
= Jp,(x)8(P1, .... Pft)cp(x)rfx = j* ш00 ... о(р.ср).
304 ГЛ. HI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ fl
Снова можно доказать, что каждый функционал / вида
где da — элемент поверхности 5, представим в виде суммы некоторых слоев различных порядков.
§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ
В этом параграфе будут рассмотрены различные обобщенные функции, связанные с невырожденной недефинитной квадратичной формой. В пп. 1 и 2 строится конкретная регуляризация некоторых интегралов без использования предельных переходов из комплексной области. В остальных пунктах этого параграфа широко применяется метод, основанный на выходе в комплексную область.
Более простым является комплексный метод и при первом знакомстве мы рекомендуем начать чтение прямо с п. 3, просмотрев предварительно пп. 1—2, которые содержат ряд полезных сведений о дельта-функциях от квадратичной формы.
1. Определение функций b[k) (Р) и b[7i) (Р). В § 1 были определены обобщенные функции Ьк (Р) для случая такой бесконечно дифференцируемой функции Р (хи . . ., хп), что поверхность Р(хх, .... хп) — 0 не имеет особых точек. Если теперь
Р {хх, .... Хп) = х\ -+- ... -f- Х%-Хр+1 — ... — x\+q (1)
(p-^q^n), то поверхность Р (хх, хп) — 0 предста-
вляет собой конус с .особой точкой (вершиной) в начале координат.
В этом случае функцию S(fc)(P) можно определить следующим образом. Так как единственная особенность конуса Р = 0 находится в начале координат, то для функций ср, равных нулю в окрестности начала координат, (&(fc)(P), ср) фактически было определено в § 1:
(8<*> (Р), Т) - j о<*> (Р) ср dx = (- l)k j шА (ср). (2)
Р = 0
J] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 305
20 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
Если же ср — произвольная финитная бесконечно дифференцируемая функция, то интеграл (2) может расходиться. Тогда мы определим (§(fc)(P), ср) как регуляризованное значение интеграла (2).
Этот план здесь и будет проводиться; однако мы проведем его элементарно, не опираясь на содержащееся в § 1
определение j шА (ср).
р-о
Итак, пусть сначала функция ср(х) обращается в нуль в некоторой окрестности начала координат. После удаления этой окрестности поверхность Я = 0 уже не имеет особых точек. Следовательно, в любой достаточно малой окрестности произвольной точки поверхности Р = 0 можно ввести
новые координаты и1 = Р, и2.....ип с якобианом > 0.
Тогда, согласно определению функции 8(&)(Я), данному в § 1, имеем:
(8<«(Р), »)-(-^/^[*o(;)]U*--*«.¦ №
где интеграл берется по поверхности Р = 0. Это определение не зависит от выбора системы координат иъ . . ., ип.
В самом деле, как было показано в § 1, написанное выражение (о(А) (Р), ср) совпадает с (—1)л J* шк (ср), а потому не зависит
Р=о
от выбора системы координат.
Напишем явное выражение для (8(Й*(Я), ср), выбрав координаты «!, ип специальным образом.
Будем предполагать, что р > 1 и q > 1; случай, когда р или q равно 1, мы рассмотрим особо в конце этого пункта.
Введем биполярные координаты, положив
Ху = гши----хр = гшр, хр+1 — swp+ и .... xp+q = swp+q, (4)
где
г = 1/ха+ ... + х*, s = Vx%+1-{- ... +х'Р+г (5) Элемент объема в этих координатах задается формулой