Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 84

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 125 >> Следующая


/ °Ч> (?) — / "Ч.....«к (?) = /

s s s

По теореме Стокса

s г

где Г — граница поверхности 5. Но, в силу предположений, сделанных о функциях Pi(xx.....хп) (1=1, .... k).

поверхность S или замкнута, или уходит в бесконечность.

В обоих случаях интеграл J* х* = 0, так как форма х* фи-

г

нитна, и следовательно,

s s

Тем самым обобщенная функция d 5(Ри • ¦ ¦• Рк) определена

^ дР? ... дРак И

1 к

функциями Plf . . ., Рк на поверхности Рх = 0, .... Рп = О однозначно.

дт 8 IP РтЛ

Для обобщенных функций Ъ(РХ.....Рк) и- г' '¦''' ¦

дР.1 ... дР к

1 к

имеют место следующие теоремы:

9J § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 303

2. Для обобщенных функций 8 (Ри .... Рк) и их производных имеют место следующие тождества:

Р*8(Рг.....Р*) = 0.

Р^8(ЯХ> .... Pft) = 0,

РгР, ... P*8(Plf .... Р*) = 0.

а также все тождества, получаемые из этих формальным дифференцированием по Ри Рк. Например, последовательно дифференцируя первое тождество по Pit получаем:

8 (Л.....РЛ)-№8р,(Р1.....Р*) = 0.

mb^p.iP,.....р^^р.Ьр^.р^Р,.....Р*) = 0.

Дифференцировать можно по любому набору переменных: например, дифференцируя второе тождество по Pf и Pj, получаем:

5 (Pi.....Р*) + Pi 8р, (Pt.....Р*) -f Р^ 8^ (Р,.....Рк) +

+ Р.Р/0р.р (Рх.....Р*)=0.

Доказательства этих фактов проводятся аналогично тому, как это выше делалось для 8(Р), и мы их опускаем.

В заключение заметим, что аналогично предыдущему, можно определить т-кратный слой как функционал вида

/ 2 м*)&(а)(Рь.... р*)

где

(а1г .... ак), | а [ = ссх -f- ... -f-aftt

*<«>,р р , а1 ''»(Plt .... Pfc)

6 dP?...dP-* '

В частности, простой слой отвечает формуле (,х8 (Рх, .....Р*), <р) =

= Jp,(x)8(P1, .... Pft)cp(x)rfx = j* ш00 ... о(р.ср).

304 ГЛ. HI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ fl

Снова можно доказать, что каждый функционал / вида

где da — элемент поверхности 5, представим в виде суммы некоторых слоев различных порядков.

§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ

В этом параграфе будут рассмотрены различные обобщенные функции, связанные с невырожденной недефинитной квадратичной формой. В пп. 1 и 2 строится конкретная регуляризация некоторых интегралов без использования предельных переходов из комплексной области. В остальных пунктах этого параграфа широко применяется метод, основанный на выходе в комплексную область.

Более простым является комплексный метод и при первом знакомстве мы рекомендуем начать чтение прямо с п. 3, просмотрев предварительно пп. 1—2, которые содержат ряд полезных сведений о дельта-функциях от квадратичной формы.

1. Определение функций b[k) (Р) и b[7i) (Р). В § 1 были определены обобщенные функции Ьк (Р) для случая такой бесконечно дифференцируемой функции Р (хи . . ., хп), что поверхность Р(хх, .... хп) — 0 не имеет особых точек. Если теперь

Р {хх, .... Хп) = х\ -+- ... -f- Х%-Хр+1 — ... — x\+q (1)

(p-^q^n), то поверхность Р (хх, хп) — 0 предста-

вляет собой конус с .особой точкой (вершиной) в начале координат.

В этом случае функцию S(fc)(P) можно определить следующим образом. Так как единственная особенность конуса Р = 0 находится в начале координат, то для функций ср, равных нулю в окрестности начала координат, (&(fc)(P), ср) фактически было определено в § 1:

(8<*> (Р), Т) - j о<*> (Р) ср dx = (- l)k j шА (ср). (2)

Р = 0

J] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 305

20 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1

Если же ср — произвольная финитная бесконечно дифференцируемая функция, то интеграл (2) может расходиться. Тогда мы определим (§(fc)(P), ср) как регуляризованное значение интеграла (2).

Этот план здесь и будет проводиться; однако мы проведем его элементарно, не опираясь на содержащееся в § 1

определение j шА (ср).

р-о

Итак, пусть сначала функция ср(х) обращается в нуль в некоторой окрестности начала координат. После удаления этой окрестности поверхность Я = 0 уже не имеет особых точек. Следовательно, в любой достаточно малой окрестности произвольной точки поверхности Р = 0 можно ввести

новые координаты и1 = Р, и2.....ип с якобианом > 0.

Тогда, согласно определению функции 8(&)(Я), данному в § 1, имеем:

(8<«(Р), »)-(-^/^[*o(;)]U*--*«.¦ №

где интеграл берется по поверхности Р = 0. Это определение не зависит от выбора системы координат иъ . . ., ип.

В самом деле, как было показано в § 1, написанное выражение (о(А) (Р), ср) совпадает с (—1)л J* шк (ср), а потому не зависит

Р=о

от выбора системы координат.

Напишем явное выражение для (8(Й*(Я), ср), выбрав координаты «!, ип специальным образом.

Будем предполагать, что р > 1 и q > 1; случай, когда р или q равно 1, мы рассмотрим особо в конце этого пункта.

Введем биполярные координаты, положив

Ху = гши----хр = гшр, хр+1 — swp+ и .... xp+q = swp+q, (4)

где

г = 1/ха+ ... + х*, s = Vx%+1-{- ... +х'Р+г (5) Элемент объема в этих координатах задается формулой
Предыдущая << 1 .. 78 79 80 81 82 83 < 84 > 85 86 87 88 89 90 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed