Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
делены как интегралы по поверхности 5 (Рх = 0.....Рк = 0)
от некоторых дифференциальных форм ш*,...^, зависящих
от функций Рх.....Рк и от основной функции срС*^, .... хп)
с ее производными до порядка т включительно.
Обозначим форму• ерш через сооо...о(<р) (здесь to — форма, определенная выше равенством dv = dPx dP2 .. . dPk со). Чтобы определить, например, форму ... о(<р) (интеграл от которой по 5 даст нам значение обобщенной функции
д? ^Рьд'рк' Plc* У мы возьмем форму (п—1)-го порядка
dP2 . . . dPk сооо... о (ср),
продифференцируем ее и представим полученную форму и-го порядка в виде
d(dP2 . . . dPka>oo... 0(f)) = dPx . . . dPk сош ... 0(<p).
Возможность такой операции легко доказывается в локальной системе координат. В самом деле, в координатах t*i = P{(Xi, ...,*„) (/= 1.....k), ик+1.....ип, если обозначить функцию fiXxiUy.....ип)..... хп(их.....ип))
через <pi(uu .... им) = срх(и), мы получим:
«оо... o(?) = TD( *а )duk+i . . . dun, dP2 . . . dPk шоо ... о (?) = <pD ( * ) du2 . . . dak,
d(dP2 . . . ciPfcwoo...o(cp)) =-g|r [?D(u)]dui • • • dun>
<"io...o(<p)=-^-i[?(«)?>(*J]rfafc+1 ... dun.
Аналогичным образом можно увеличить на единицу любой из к индексов формы coqo ... о (ср). Вообще, если предположить,
300 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
что у нас имеется форма соа)<1з... «fc(<p). то чтобы увеличить на единицу у'-й индекс, мы умножим нашу форму слева на все dPi, за исключением dPj, продифференцируем ее и представим в виде
a (dPx ... dP,_x dP1+x ...dPk Шв1... aic (ср)) =
= (- I/"1 dPx... dPk «,„,, .... aj + u .....v (8)
Таким образом определяются формы toai... a (ср) для любых целых неотрицательных значений индексов.
Очевидно, что если уже исходная форма сооо...о(<р) была определена неоднозначно, то формы coai... (ср) и
подавно могут быть определены разными способами.
Покажем, что формы coai... ^ (ср), определенные индуктивно, начиная с и>оо... о(ср). равенствами вида (8), при любых аг, . . ., ак могут отличаться только на форму вида
dx+?,dPi+ ... +%dPk,
где dx — дифференциал от некоторой формы % порядка п — к—1, а р\, р\ — произвольные формы порядка
п — к — 1. При этом как форма т, так и формы р\.....(3А
финитны, т. е. каждая из этих форм равна тождественному нулю вне некоторого ограниченного множества.
Доказательство этого утверждения будем вести по индукции. Как следует из доказанной выше леммы, во всем пространстве
">оо...о — «оо ... о = pidPi-f- ... -\-$kdPk для любых двух форм, определяющих Ь(Ри .... Рк). Так как, во-первых, обе формы шоо...о(ср) и со0о ... о (ср) содержат множителем финитную функцию <f(xx.....хп) и, во-вторых, дифференциалы dPt, dPk линейно независимы,
то, очевидно, все формы (3t.....pft, входящие в правую
часть равенства, финитны. Предположим теперь, что разность любых двух форм с индексами аи ак можно во всем пространстве представить в виде
«V,.....«к — ®«„ .... «л = dx + pt dPx + ... + р* dPk, (9)
где x, pt, .... pfc — финитные формы, и покажем, что при увеличении одного из индексов (для определенности—пер-
9] § 1. ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 301
вого) на единицу это свойство сохраняется. Для доказательства умножим обе части равенства (9) на dP2 . . . dPk и продифференцируем его. Так как d (dPi) —d (dx) = 0, то мы получим:
d [dP2 . . dPk((Oai ... „a— <0«, ... afc)] =
= dPvdP2 . . . dPk • (0>ai + l, a,.....„fc — i0aj+1, aa, .... ak) =
^(-ifdP, ... dPkd^. Отсюда
dP1dP2 ... d/V("4+il0j.....«4—— (— l)*tfPi)=0
и по лемме
= (— O^-t-TtrfPi-b ••• +T*rfP*.
причем, в силу финитности фор
и формы pV формы 7lt .... tfc также финитны. Это и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь равенство (9), справедливое, по доказанному, для любых значений индексов аи .... ак на поверхности 5. На этой поверхности dPx = .. . = dPk = О, а форма б?т равна некоторой форме dx* (внешнему дифференциалу финитной формы х*, полученной из формы т проектированием на многообразие S). Таким образом, на поверхности 5
°>«......«% — »«„..., «fc = <**'*.
где dx* — дифференциал финитной формы х*.
дт 8 (Pi РъЛ
Определим теперь обобщенную функцию -^ ¦'"' а ;
1 ft
следующим равенством:
\ 1 ft / s
Из формул типа (7) видно, что это определение совпадает с соответствующим определением, данным в начале этого параграфа. Это определение не зависит от выбора
302 ГЛ. ИГ. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
дР«> ... дР*к 1 а
1. Обобщенные функции 8(Р1,____Рк) и ^(gPl' '"'^У
можно дифференцировать как сложные функции:
jL я /р р ч _ V аа<р1' я*>
* '' • ^к)~ Zi Щ щ •
Здесь производные обобщенных функций по координатам доопределяются, как обычно, а именно:
(<Я78(/>1Р*>' Т) = -(5(Л, ...,-РА),
формы а)вм <xs. Действительно, если со,»,____, ак и ша1.....а—
две формы, полученные из о>0о...о последовательными умножениями, дифференцированиями и делениями, то, по доказанному,
