Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ь<4<-.. <гк \ХЬ ¦ ¦ • xik J 4
В силу предположений, сделанных о функциях Р^ (хи .... хп), в матрице
296 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
то можно положить
<» = ( — 1) 2 _,Р1...Рк< . (40
\лг, • • • л1кУ
где j\ < . . . < и Ф j\ при любых р. Ф v. Итак, существование формы со доказано.
Более симметричный (но не всегда наиболее удобный для вычислений) вид формы со получится, если в некоторой малой области выбрать в качестве переменных их —
= Pi(x1.....хп).....ик = Рк(х1.....хп) и какие угодно
дополнительные переменные ак+1, . . ., ап, достаточно•глад-
/х\
кие и такие, что DI ) >0. В этих переменных элемент объема имеет вид
dv — D^^jdux . . . dun.
Формы 1-го порядка dPx при этом совпадают просто с дифференциалами переменных dut (i = 1, .... k) и интересующую нас форму со можно положить равной
о> = D dtjt+i • ¦ • dun. (5)
Докажем простую лемму из теории дифференциальных форм, которая нужна для определения обобщенной функции 8(РХ.....Рк).
. Лемма. Если у— форма порядка п — k, такая, что ее произведение на k независимых дифференциалов dPx . . . dPk равно нулю, то существуют формы cxt, . .., cxft, такие, что
7 == Oi dPx -т- ,. . -\- ak dPk.
При этом под дифференциалами понимаются внешние дифференциалы форм нулевого порядка (т. е. функций) Рх.....Рк, а независимость дифференциалов означает, что
dPt ... . 4Р%Ф 0.
9] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 297
Форма k-ro порядка в левой части этого неравенства в переменных хи . . ., хп имеет вид
VI дРг дР? дРк .
Ji.....зц
- S />(?:::
*.<...<**
Поэтому неравенство dPx . . . dPk ф 0 означает, что матрица дР-
из производных (/=1, 2.....k; j=l. 2, .... re)
имеет ранг k. Отсюда следует, что функции Рх.....Рк
могут быть выбраны за первые k координат в пространстве Rn локально.
Для доказательства леммы перейдем к указанным выше
локальным переменным ai = Pi(je1, . . ., л;п) (/= 1.....k),
ак+и •••»««• Дифференциальная форма т в этих переменных может состоять, во-первых, из слагаемых, содержащих дифференциалы dux, . . ., duk и, во-вторых, из слагаемого qduk+x . . . dun, не содержащего таких дифференциалов. Мы имеем:
dux . . . dukf = q dux . . . dan = 0
по условию леммы. Так как все дифференциалы независимы и их произведение не может быть равно нулю, то отсюда следует, что д===0. Следовательно, форма -j- состоит только из слагаемых, содержащих хотя бы один дифференциал dtii (/=1, .... k). А значит, т" можно (вообще говоря, различными способами) представить в виде
•r = alde1-|- . . . -\-akduk,
т. е.
f = a1 dPx -}-... -j- aA dPl(,
что и требовалось доказать.
Определим теперь обобщенную функцию 8 (Рх.....Рл)
равенством
(О (Plf .... Рк), ср (ХХ.....Хп)) = J ерш, (6)
S
dxi
dX: ,
Зк
где. ш — форма, о которой шла речь выше, а 5 — поверхность (1).
298 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
Из формулы (5) видно, что это определение совпадает с определением, данным в начале этого параграфа.
Легко показать, что это определение не зависит от выбора формы со. В самом деле, пусть dv = dPx . . „ dPk<o =
= dPy .. . dPk со. Покажем, что J* ср (со — со) = 0 для любой основной функции ф(х). Согласно доказанной лемме со — (o = aldPl-\- ... -\-txkdPk, т. е. формы со и со во всем пространстве могут отличаться только на форму вида cxj dP\ -f- ... -\-ак dPk, где а.г — формы порядка п — k — 1. Очевидно, что вдоль поверхности Pt = 0, . . ., Рк = 0 эта форма равна нулю, т. е. обобщенная функция 8 (Ри .... Рк) определена функциями Ру, .... Рк однозначно.
Нужно иметь в виду, что форма со и функционал
8(Р1.....Рк) изменяются вместе с изменением уравнений,
описывающих поверхность 5. Выясним, как изменяется
форма со при переходе от уравнений Р1 = 0.....Рк — О
поверхности 5 к уравнениям Qt — 0.....Qk = 0, где
к
Qj(x) = J!laij(x)Pi(x) С/=1. 2.....ft),
i —1
и матрица из бесконечно дифференцируемых функций atj(x) обратима. (Очевидно, что вторая система уравнений описывает ту же поверхность, что и первая система.) Для этого выпишем уравнения, определяющие исходную форму со и
преобразованную со:
dPx dP2 . . . dPk со = dv;
dQx .. . dQk со = (2 aii dP^) ... (2 aik dPt) со = dv.
Раскрывая скобки и преобразуя коэффициенты по правилу dPidPj — — dPjdPit мы видим, что второе уравнение приводится к следующему:
detlJayllfifPi . . . dPk со = dv.
Отсюда
1
f r= -г;——г" g>.
detlla^H
Это и есть искомая формула преобразования формы со. Соответствующая обобщенная функция 8 (Qu .... Qk) связана
9] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 299
(7)
с обобщенной функцией 8 (Ри .... Рк) равенством
<8<q......^>=/;й^ = (8<р......^••Brfei)-
Определим теперь производные обобщенной функции Ь(РХ.....Рк) по аргументам Pit т. е. обобщенные функции д 5 • • • ¦ ^ дти обобщенные функции будут опре-
