Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
8' (аР) ^-=V («P) Р §± + 8' (вР) а =
= а-8'(Р)^-а-28(Р)
Подставляя, согласно формуле (4) п. 6, вместо 8' (аР) величину — а~1Ь(аР) = — а_28(Р) и сокращая, находим:
3'(аР) = а-28'(Р). Аналогично для любого k и любой функции а(х)
Ъ(к)(аР)=а-{к+1)Ъ{к\Р). (6)
292 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
Пример.
8« (г2 - с2) = 8<*> [(г + с) (г - с)] = (г + с)-*-1^ (г - с).
Эга формула означает, что для любой основной функции ср / Ьт {r* — c*)<?(x)dx = J* (г-\-c)-k-1b{k)(r — c)c?(x)dx.
Конечно, сравнивая формулы (10) и (11) п. 5, это тождество было трудно усмотреть. При k = 0 оно принимает вид
J 8(r2_c2)cp(x)dx==^. j b(r — c)?(x)dx;
это было видно уже из формул (5) и (6) п. 3. 8. Слои. Функционал вида р. (х) 8(А-1) (Р), или
/ г1 (*) Ъ*-1) (Р) ср (*) dX = J (jxcp), (1)
P=0
называется k-кратным слоем на поверхности Р = 0. В частности, простой слой (&= 1) отвечает формуле
(ti8 (Р), ср)= J (хсрю= J «>о (И-?): (2)
Р=0 Р=0
двойной слой (k = 2) отвечает формуле
W). <р)= / «i (|«р). (3)
р=о
Функция \ь(х), фигурирующая во всех этих формулах, называется плотностью соответствующего слоя.
Приведенное определение было бы некорректным, если бы оно зависело от формы записи уравнения поверхности Р = 0. Но в действительности тот факт, что данный функционал / есть слой Аг-го порядка, не зависит от вида уравнения поверхности Р = 0 и при переходе от записи Р = 0 к записи а(д:)Р=0, где а(х)—функция, не обращающаяся в нуль,
9] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 293
(/. ?)= f^ai(x)Di<?(x)da
('-о.....-^-sSjr)
может быть представлен как сумма некоторых слоев различных порядков. Как вытекает из сказанного, при этом можно использовать какую-либо специальную форму записи уравнения поверхности Р — 0; предположим, что в этом уравнении функция Я(х) означает расстояние точки х от поверхности Р = 0 и, следовательно, форма совпадает с евклидовым элементом do. Тогда мы имеем:
(/. ?) = / 2 ь (х) dj9 (х) ш = f «у2 aj <*) °s А= - (s (я), 2 aJ (*> -d/cp)=2(-1 )j (d^- (*>8 (p)> = =2 (- (2e* <*>(p>> *)=(2&*(-*° s(u) (p)'?) •
где
Таким образом,
/ = 2 *л (*) (Я).
что и утверждалось.
дтЬ (Ръ...,Рк)
9. Обобщенные функции 8 (Ях.....Рк) и
В предыдущих пунктах этого параграфа были рассмотрены обобщенные функции, связанные с (л — 1)-мерной поверхностью Р—0. В. этом пункте мы будем рассматривать
меняется только выражение функции \ь(х). Действительно, по формуле (17)
р (х) 8(А" 4 (аР) = р (*) а~к (х) (Р) = ^ (*) S'*"1* (Я),
что и утверждалось.
Покажем, что каждый функционал f вида
294 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ типы ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
обобщенные функции, связанные с поверхностью 5 меньшего числа измерений и определяемой уже не одним, a k уравнениями:
Л (*i. • • •. хп) = О, Р2 (хх.....хп) = 0, ...
.. ., Рк (хи .... хп) = 0.
При этом мы будем предполагать, что:
1) функции Pi бесконечно дифференцируемы;
2) семейство поверхностей Pt (jclf х2, .... хп) = ^ (/ = 1, . . ., k) образует «правильную сетку», т. е. в окрестности каждой точки поверхности 5 можно принять за локальную систему координат переменные щ — Pi(xu .. ., хп) (/=1, и некоторые дополнительные переменные
ик+1, .... ип, так что в этой окрестности якобиан ^^ц^ >0»
Рассмотрим элемент объема в Rn
dv — dxx . . . dxn
как дифференциальную форму га-го порядка в этом пространстве и представим эту форму в виде произведения дифференциальных форм первого порядка dPx . . . dPk на некоторую форму ш порядка га — k:
dv = dPx ... dPkсо. (2)
Очевидно, что если такая форма со существует, то она определена неоднозначно. Действительно, если к некоторой форме ш, определенной равенством (2), добавить форму
к
"S а,- dPj, где а4 — любые дифференциальные формы по-
к
рядка п — k—1, то полученная форма to-(-2 аг^Р{ также
будет удовлетворять равенству (2), так как произведение dPidPf равно нулю.
Чтобы доказать существование формы to, мы просто
выпишем ее в переменных хх.....хп. В этих переменных
элемент объема dv — dxx . . . dxn. Формы dP^ имеют вид
9J § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 295
^1. .
дРх
дхг
дхп
дРк
I
имеется хотя бы один минор k-ro порядка, отличный от тождественного нуля. Допустим, что в рассматриваемой области отличен от нуля минор из производных по первым к переменным хх, . . ., хк:
\*1 • • • хк/
Тогда можно положить
йхъ^ . ... dx„
d(pi'~p*\
\хх ... хк)
так как при умножений на эту форму все слагаемые справа в (3), кроме
[Рх ...Рк\ D{xl...xk)dXl---dXk'
дадут нуль из-за наличия хотя бы двух одинаковых дифференциалов, а
в;;; ...**»*ур\\\\*** = • •• **»=^
\х1 ¦•• *ч)
Аналогично, если, для каких-то ix < /2 < . . . < 1к
Яг ... Я*
Хг^ . ¦ . xik
и, как легко проверить (ср. формулы (2) и (3) п. 1), dPl...dPk = 2 D (Р1 • '" Р* )dXil. .. dxik. (3)
