Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
ности Р — 0, где ^j- Ф 0; как мы видели выше, этого достаточно для справедливости самой формулы (1),
Покажем теперь, что имеют место следующие тождества, связывающие значения функции 8 (Р) в ее производных:
Ро(Р) = 0, (3)
Р8'(Р) + 8(Р) = 0, (4)
P8"(P)-f-2 8'(P) = 0, (5)
288 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [6
JL ьт (г2 — t2) = 2xj 8(*+1) (г2 — г2),
дх) б* дх)
ьт (Г2 _ = 2 Ь{к+1) (г2 — t2) -1- Ах) o(ft+2) (г2 — *2),
V 8<*> (Г2 _ ,2) = 2п 8(fc+1> (г2 — г2) -4-дх*
4_ 4 (Г2 _ ;2) §(fc + 2) (Г2 _ ^2) _|_ 4t2 + (,-2 _ ^
что, в силу формулы (6), приводится к виду
2^5(ft)(r2-/2)==
= [2л — 4 (Л 4- 2)] 8(fc+1) (г2 —- г2) -Ь 4*2 8№+2) (г2 — t2). С другой стороны, аналогично
%W (Г2 _ ^2) _ _ 2 5(fe+1) (г2 — t2) 4?2 8(&+3) (г2 — г2),
*) Вообще, справедливо следующее утверждение: если имеют место равенства aj (х) f— 0, у = 1,2, ..., т, причем функции aj (х) не имеют общих (для всех j) корней на замкнутом множестве F, где сосредоточен функционал /, то f — 0. Действительно, у каждой точки х0 множества F можно указать окрестность U, где некоторая из функций | aj (х) | больше положительной постоянной, например функция ах (х). Тогда для любой основной функции ср (х), отличной от нуля только в пределах окрестности U, можно написать ср (х) = ?| (х) ф (х), где ф (х) — новая основная функция. Мы имеем (/, ср) = (/, ах ф) = (ах/, ф) = 0, т. е. функционал / равен нулю в окрестности точки х0. Таким образом, / равен нулю в окрестности любой точки. Отсюда / = 0.
дР
так как при некотором j заведомо Ф О, то можно со-
дР J
кратить на -^х~, и мы получим второе тождество*).
Продолжая аналогично, можно доказать справедливость остальных тождеств.
Пример. Обобщенная функция o(fe)(r2 — t2) как решение волнового уравнения в нечетно мер ном пространстве.
Вычислим результат применения волнового оператора А — к обобщенной функции S(fe)(r3 — /2). Имеем:
6) § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 289
dQ. (7)
(8<*>(r» —<р(*)) = Ц^/ (_^_)Vn-a
a
При
n = 2k -f- 3 подынтегральная функция принимает вид
(w)V&+1-
д
Каждая операция ^ снижает показатель у гп на две
единицы. После k таких операций, примененных к произведению cpr2*-*-1, получится сумма слагаемых, каждое из которых содержит г самое большее в первой степени. Полагая r = t и устремляя t к нулю, получаем:
lim 3(&>(/2— t2) = Q. (8)
Далее, мы имеем: dbW (Г2 — ;«) = _ ^ 8(fc+1} _
2
19 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г, Е. Шилов, вып. I
откуда
2 -ВЬ(к} (r2 ~t2) ~ ^ т (г2 - '2)=
= (2я — Ak — 6) 8(ft+1) (г2 — г2). Последнее выражение при fe ==" ~3 обращается в нуль.
Итак, если п нечетно и k — п 3, то обобщенная функция 8(*)(r2— t2) есть решение волнового уравнения
(*-&) —О-
В частности, при я = 3 решением волнового уравнения является обобщенная функция 8 (г2 — t2).
Выясним, каким начальным условиям- отвечает найденное решение. По формуле (11) п. 5,
290 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. [7
а8(*)(г2_<2)
dt
=0 = (-1)fc^ltrJl2^(0). О)
где Qn есть поверхность единичной сферы. Как известно,
П 2fc+3
окончательно мы получаем: dbW (r2 — t2)
dt t=o
т. е. решение
и(х, t) = b™(r*-t2) удовлетворяет начальным условиям
= (— l)fc 2тс&+1 ср(0), (10)
и(х, 0) = 0. 0) = (— 1)* 2тР+Ч (х). (11)
Таким образом, с точностью до числового множителя обобщенная функция и(х, t) дает фундаментальное решение задачи Коши для волнового уравнения (ср. гл. I, § 4, п. 4).
7. Тождества для S(A) (а (х) Р). Рассмотрим функции Р (х) и Q(x), для которых соответствующие поверхности Р —0 и Q = 0, так же как и раньше, не имеют особых точек и, кроме того, не пересекаются, так что поверхность PQ=0 также не имеет особых точек. Тогда имеет место формула
S(PQ) = p-\8(Q)-r-Q-13(P). (1)
В выражении подынтегральной функции имеется только один член, содержащий г в отрицательной степени; как легко вычислить, он равен
(26 + 1) !! у(х) 2k+i г •
Поэтому, полагая r = t и устремляя t к нулю, мы получаем в пределе
7] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 291
19*
Для доказательства обозначим через сор форму, отвечающую уравнению Р = 0, через <aQ — форму, отвечающую уравнению Q — 0, и через со — форму, отвечающую уравнению PQ = 0. Эти формы удовлетворяют уравнениям
сор dP — dv на поверхности Р = 0, (2)
v>qdQ = dv на поверхности Q=0, (3)
ю(Р dQ-\-QdP) = dv на обеих поверхностях. (4)
Сравнивая (2) с (4) и замечая, что на поверхности Р = 0 уравнение (4) превращается в уравнение
coQ dP — dv,
мы видим, что (o = Q~"1(op; аналогично, на поверхности Q=0 мы имеем со = Р-1сОф. Поэтому
(8(PQ), ср)= Jcpco-f- J"cpu> = JcpQ-Vp-f- JcpP-10)Q = p=o g=o P=o Q=o
^(Q-^P), cp)-f-(P-^Q), cp),
что и утверждается.
В частности, если функция а (х) вообще не обращается в нуль, то
8 (аР) = а'1 8 (Р). (5)
Новые интересные формулы получаются при дифференцировании равенства (5). В частности, дифференцируя его по Xj, получаем:
