Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
шл — ч>к = da.
По теореме Стокса
fda = fa,
Р=о г
где Г — граница поверхности Р — 0. Но поверхность Р либо замкнута — и тогда границы вообще нет, — либо ухо-
5] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 283
= (—l)fc / (Л = 0, U 2. ...). (6)
(8<*>(Л), т) = /8«(Р)ТАс =
дит в бесконечность; во втором случае J*а—0 по той при-
г
чине, что форма а финитна.
Соотношение (5) мы докажем по индукции. Напомним, что, как было показано в п. 2, если некоторая форма т ортогональна к dP, то она имеет вид
T = Tld/>.
где гч— форма (п — 2)-го порядка, причем если форма -j-финитна, то форма fi также финитна. Отсюда для k = 0 сразу следует, что
">0 — u)0 = р dP,
где р финитна, поскольку финитны формы ш0 и ш0, содержащие множителем основную функцию ср. Предположим теперь, что соотношение (5) выполнено с финитными формами а и р и сделаем переход от ft к k-\—l. Для этого продифференцируем равенство (5); мы получим:
dwk — dwk = а*р dP,
так как дифференциал дифференциала формы равен нулю. По определению форм шА+1 и
dP ¦ — — (—I)""1 rfp) = 0.
Следовательно,
"Vn — ">&+i — С—1)""1 <*Р = Т
и остается установить, что форма -г финитна. Для этого нужно, согласно сказанному выше, проверить финитность форм шй+1 и со&+1. Но она видна из их определения (из равенств (1) — (3) ).
Таким образом, интеграл от формы ш& (ср) по поверхности Р = 0, действительно, однозначно определяется функциями Р(х) и ср (je). Положим, по определению,
284 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
шк (?) = J ft dx2 .. . dxn
и
S(fe) (xx) ydx —
a*cp (0, jr2, ..., xn)
2. Подсчитаем & (a^-f- .... ~]-anxn), где 2ai— l-Совершая такой же поворот координатных осей, как в примере 2 п. 3, находим:
wfc(cP) = Tfc du* dan dw[
У»№>(2ад)Т(х)^=(-1)» / ?|rfa. (8)
где дифференцирование справа производится по направлению, ортогональному к гиперплоскости
(в сторону увеличения суммы JjjaiXi), а da — элемент этой гиперплоскости.
3. Найдем 8(ft)(ху — с). Перейдем, как в примере 3 п. 3, к координатам ах = х, и2 — ху — с. Так как
D(x У) = ±.
TO
"»(,р)=:-5?1-Z?—Г"'
Что это определение обобщенных функций о(&)(Р) совпадает с их определением, данным в начале этого параграфа, видно из формулы (4).
Примеры. 1. В случае Р(х)=гхх = 0 мы имеем по формуле (4)
<?*=<р (х)
g] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 285
И
j^(xy-c)<?(x,y)dxdy=(~l)k+l/& (9)
4. Построим 8^ (г — с), г2 = 2-*г*- Введем сферические координаты их — г, и2—вх, ип=вп_х. В этих координатах легко подсчитывается, что
(о = rn~ldQ,
где <22— элемент единичной сферы г=1; отсюда ит. д., вообще,
"»*(?) = -^-(?гП-1)^.
так что
где Ос — сфера г — с = 0 и dOc — ее евклидов элемент. 5. Наконец, чтобы подсчитать перейдем'
к координатам их — г2—с2, u2 = Qx..... ип~^п-и мы
получим:
o> = ir"-2d2
и
».(?> = Y(^)V"-a*2.
откуда
/ 8*> (г2 - с2) idx=^gf {^)к (9r«-2) dOc (11)
°с
и, следовательно,
^*>(*;+ ... +4-А ?)=
Г/_д_\* t
<ЮС. (12)
с
286 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ Ф5'НКЦИЙ [6
dxj 4 ' дх^
Для доказательства достаточно проверить, так же как и в п. 3, что при фиксированном j функционалы в правой и левой частях совпадают в окрестности любой точки по-
дР
верхности Р=0, где —Ф 0.
Для этого применим правую и левую части к основной функции cp(jc), отличной от нуля только в малой окрестности такой точки, приняв за координаты в этой окрестности
«i = *i..... uj = P..... ип=хп. Тогда ¦°(") = ^'
D j = , и форма шк принимает вид
шк(?) = -ври I-§р- \dxi ¦ • • dxj-\dxj+x .. . dxn. [ dxj J
Функционал в правой части равенства (1) действует по формуле
(^-^'>(Р,.,)=(8-»(Р). ^,)=
Р=о J
= (—1)*+1 f dxx .. . dxj_x dxJ+1 . .. dxn.
' P=0
Функционал в левой части равенства (1) действует "по формуле
р=о \ <?jr^
Р=0
<Эср
jc+i 1 I дх* = (—J) j ^pFt ~Jp~ )dxx ••• dxj_xdxi+1 . . . dxn.
6. Тождества для 5(fc) (Р). Покажем, что обобщенную функцию 8^&)(Р) можно дифференцировать как сложную функцию:
Ъ<*>{Р) = 4Р-Ъ<*+1\(Р) (ft = 0. 1..2. ...). (1)
6] § 1- ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИЙ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 287
Р о№; (Р) -j- k Ь1к~1) (Р) = 0, ' (6)
Первое из этих тождеств очевидно, так как интеграл произведения Рср по поверхности Р —0 равен нулю. Дифференцируя это тождество по Xj и используя формулу (1), * находим:
-щНР^Рщо^Р^О;
Поэтому нам достаточно показать, что имеет место равенство
/ д<Р
дк+\ _ дк I dxj dpA+i — дрк I дР \ dxj
Для k — О оно, очевидно, справедливо, так как Ср = ср(л:1, Xj(P), хп) и, следовательно,
ду _ д<? _ дР
дР dxj ' dxj '
Отсюда сразу следует равенство (2) для любого k, так как
дк+\ _ /д^\ дРк+1~ дРк \др)'
Итак, равенство функционалов в правой и левой частях формулы (1) доказано в окрестности любой точки поверх-дР
