Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
3] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 275
18*
3. Обобщенная функция § (Р). Теперь переходим к нашему основному определению. Поставим в соответствие каждой основной функции ср(лг) число
f <р(*)о>.
Р=0
Мы получим, очевидно, линейный непрерывный функционал на основном пространстве. Обозначим этот функционал через 8(Р), т. е. положим
(8(Р), <р) = fb(P)9dX= /<рС*)и>. (1)
р=о
Из сказанного выше следует, что функционал 8 (Р) не зависит от специального выбора формы ш, а зависит лишь от функции Р(х).
Чтобы убедиться в совпадении этого определения с определением 8(Р), данным в начале этого параграфа, достаточно заметить, что в координатах их — Р, и2, ип по формуле (2) п. 2
to — D^*^du2 ¦ ¦ ¦ dun.
Примеры. 1. Прежде всего рассмотрим обобщенную функцию" 8(^i), которая в начале этого параграфа была исходным пунктом для общего определения 8 (Р). Уравнение хх = 0 определяет координатную гиперплоскость; форма ш в этом случае выражается в виде
ш — dx2 . . . dxn,
и поэтому
j 8 (хх) ср (х) dx= (8 (хх), ср)=Jcp (0, х2,. . . ,хп) dx2. . . dxa. (2)
2. Рассмотрим функцию S(a1jc1-f- ... -\-а.пх^), где 2 а? = 1 • Уравнение
аххх + ... + апхп = 0
определяет гиперплоскость, проходящую через начало координат ортогонально к единичному вектору сс. ' Если ввести координаты
276 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ f3
*) Если с Ф 0. По поводу случая с = 0 см. § 4, п, 2. **) См. ниже пример 4 в п. 5.
и притом так, чтобы матрица перехода была ортогональной (поворот осей), то форму со можно задать в виде произведения du2 • ¦ • dun. Поэтому
(Bfajfi-r-. • .-r-a»-*«). <Р)= f <?du2...dun= j <pda, (3)
где da — евклидов элемент гиперплоскости 2 а%х% = 0-
3. Подсчитаем обобщенную функцию 8 (ху — с) в двумерном пространстве. Уравнение ху — с = 0 определяет гиперболу*). В координатах их = х, иг —ху — с мы полу-
dx
чаем по формуле (3) п. 2 ш = — —, и следовательно, (Ь(ху — с), <р(*. j>)) =
= /Ъ{ху—с)ч{х, y)dxdy = -f <р(х. -?)^f. (4)
4. Построим обобщенную функцию 8 (г — с), где г2 = 2хь ^ > 0. Уравнение г — с = 0 определяет сферу Ое радиуса с. Так как Р = г — с есть евклидово расстояние от поверхности сферы, то при г —с форма со совпадает с евклидовым элементом поверхности сферы dOc, так что **)
(8(г — с), ср) = /8(r — c)ydx = f<?dOc, (5)
и следовательно, 8 (г—с) можно охарактеризовать как функционал, соответствующий массе, равномерно распределенной по сфере г = с с плотностью единица.
Та же сфера радиуса с задается уравнением г2 — с2—0. Найдем выражение 8 (г2 — с2). Положим и1 = г2 — с2, аг=Ьх, ыга=6„_1, где 6,, .... Qn_x—те же углы,
что и в обычных сферических координатах. Мы получим:
u = ~dOc = ~dOc
и
ф(г2 — с2), ?) = / 8(r2 —C2)cprfx==^_ J yd0o% (6)
3] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 277
Обобщенная функция §(Я) естественно возникает при дифференцировании характеристической функции 6 (Р) области Р>-0, т. е. функции, равной 1 при Р(х)^-0 и О при Р (х) < 0:
(0(Р), <р) = f 9(x)dx.
Р>0
Утверждается, что имеет место формула
0'(/>) = & (Я). (7)
которую надо понимать в том смысле, что для каждого j= 1, 2, .... л
Для доказательства формулы (7) проверим сначала, что при фиксированном j функционалы в правой и левой частях равенства (7') совпадают в окрестности любой точки по-
дР
верхности Я=0, где Ф 0 (вне этой поверхности они
оба равны нулю). Для этого применим правую и левую части к основной функции f(x), отличной от нуля лишь в малой окрестности такой точки.
Левая часть преобразуется к виду
J J р>о J
а правая — к виду
(I^cp>. т)-(.т. g,)-
J р=о
Предположим сначала, что область Р^>0 ограничена. Тогда мы применим к этой области и к форме (п—1)-го порядка, стоящей под знаком интеграла справа, формулу Гаусса — Остроградского. В число координат мы включим саму величину Р; тогда, учитывая, что в данном случае эта величина увеличивается в направлении внутрь этой области, мы получаем:
Р=-0 * Р>0
278 гл. ш. специальные типы обобщенных функций [3
и, следовательно, дР
dxj
d{c?~dxj(0)== 1 ddxi • ¦ ¦ dxj-idxj+i ¦ • • dxn) =
Вне указанной области равенство
d{v-o%«) = o%dx также имеет место, так как там ср (х) == 0. Отсюда
! 1 щах-
Левая часть этого равенства есть (J^~. 8 (Р)< <р). а правая I ?х , ср!„ 1аким образом, в рассматриваемом случае
равенство (7') доказано.
Если область не ограничена, то мы заменим ее
пересечением Gr с достаточно большим шаром вне которого функция ср(х) заведомо обращается в нуль. Если Гд—граница Gu, то формула Гаусса — Остроградского дает
= ~ f4x)dx'
но так как вне шара функция ср (л-) равна нулю,
то справедливо и равенство
Р = 0 v Р>0
которое нам и требуется,
Считая основную функцию ср(-?) отличной от нуля лишь в достаточно малой окрестности точки поверхности Р = 0, форму под знаком интеграла справа можно вычислить в координатах их — хх, .... Uj_x = Xj_x, Uj = P, . . ., ип — хп. В этих координатах
