Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Примером может служить классическая формула Стокса. В трехмерном пространстве в координатах хх, х2. х3 форма а 1-го порядка записывается в виде
а = ах dxx -j- а2 dx2 -j- аз dx3,
а ее дифференциал — в виде
/да<* dat\ , , . (да^ да->\ , , .
da = \dx-x~dx\)dx^dx* + {ъч;~т)dX2 dx*+
+ {^^o^)dXidXi;
следовательно, формула Стокса приобретает вид
+ (§ЗГ"~щ)dX3dXl — J'laidxiJra2dx2^~a3dx3], (9) 3 г
где О — двумерная ограниченная область, а Г — ограничивающая ее кривая.
272 гл. 111. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [2
2. Форма to. Рассмотрим теперь поверхность S, определяемую уравнением Р (хх, х2.....хп) = 0, где функция Р (х)
[дР дР )
бесконечно дифференцируема и grad Р = , ....
не обращается в нуль на поверхности 5 (так что отсутствуют особые точки).
В этом пункте мы изучим важную для дальнейшего специальную дифференциальную форму ш порядка п—1, инвариантно связанную с поверхностью Р = 0, точнее, однозначно определенную функцией Р на поверхности Р = 0. Эта форма определяется уравнением
dP-a> = dv, (1)
где dv = dx — dxx . . . dxn, a dP — дифференциал функции P.
Прежде всего проверим, что при сделанных выше предположениях такая форма ш действительно существует в некоторой n-мерной области, содержащей поверхность S.
В самом деле, при этих предположениях в окрестности любой точки поверхности можно ввести локальную систему координат их, . . ., ип так, что одной из этих координат, например и3-, будет величина Р(х), причем формулы перехода от координат хх, . . ., хп к координатам их, и2, .... ип будут задаваться бесконечно дифференцируемыми функциями с положительным якобианом D^*j. В этих координатах мы имеем
(х \ uJdux . . . dUj_xdPduj+x . . . dun и, следовательно,
можно положить
ш = (— *u)dux . . . duj_xdaJ+x . . . dun. (2)
Таким образом, существование формы ш доказано.
дР
Если, в частности, в окрестности данной точки ^— Ф 0,
j
то в качестве координат их, . .
Ux- Xх, . . . , Uj-Р,
тогда
2] § 1. ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 273
и форма ш, определенная по формуле (2), принимает вид
. ..j-i dx1... dxj-tdxj+1... dxn ш = (—l)' -jp-. (3)
щ
Теперь рассмотрим вопрос о единственности формы ш. Вообще говоря, форма ш не определяется уравнением (1) однозначно; очевидно, что наравне с некоторой формой ш, удовлетворяющей уравнению (1), можно рассматривать и любую форму вида <в -f-f, где г — любая форма, «ортогональная» к форме dP, т. е. удовлетворяющая условию dP • т = 0. Покажем, что всякая форма 7, ортогональная к форме dP, имеет вид
1 = adP,
где а— некоторая форма (п— 2)-го порядка. Действительно, в координатах их — Р, и2, .... ип дифференциальную форму -[> как и любую форму (п—1)-го порядка, можно записать в виде
7 = gici«2- . .dun-{-g2dPdu3. . .dun-\-. . .-\-gndPdu2. . .dun_v
где коэффициенты gu gz, .... gn — функции от координат. Равенство dP -7 = 0 приводит к соотношению gt = 0. Вынося dP за скобки из остальных слагаемых, приходим к справедливости утверждения.
Отметим (это замечание несколько ниже нам понадобится), что, как видно из доказательства, если форма 7 финитна, то а также финитна.
Из доказанного следует, в частности, что на самой поверхности 5 форма 7 тождественно равна нулю (так как dP=0), и следовательно, на самой поверхности Р == 0 форма ш определена функцией Р однозначно.
Выясним геометрический смысл формы ш. Рассмотрим поверхности 5 и Sh, определенные соответственно уравнениями Р = 0 и P—h при малом h (черт. 6). Выберем элементарную площадку da на поверхности 5 и перенесем ее с помощью координатных линий ии .... Uj+1.....иЛ
на поверхность Sh. При этом получится фигура П, имеющая некоторый объем dv. Форма ш, согласно определению, есть отношение dv к dP — h. Таким образом, форма и>
18 Зак. 460. И. М. Гельфанд н Г. Е. Шилов, вып. 1
274 гл. ш. специальные типы обобщенных функций {2
есть скорость изменения элементарного объема dv по отношению к изменению величины Р.
На этой модели легко объясняется инвариантность формы ш на поверхности 5. Действительно, при замене
системы координат их.....uj~i< aj+i> •••> ип на новую
изменяется наклон фигуры П по отношению к поверхности S; но основание ее не меняется, не меняется и ее высота, определяемая расстоянием до поверхности Sh, не
Черт. 6.
меняется, следовательно, и ее объем, откуда следует, что не меняется и ш== . Таким образом, форма ш не зависит от выбора остальных координат их.....uj-i> uj+i.....ап.
Однако форма ш зависит, разумеется, от выбора функции Р, определяющей уравнением Р = 0 поверхность 5. 'Посмотрим, как должна измениться форма ш, если вместо уравнения Р = 0 рассмотреть уравнение Р1 = аР = 0 с отличной от нуля функцией а(х). Мы имеем здесь вдоль поверхности 5 равенство dPx=^adP, откуда следует, что соответствующая форма
dv 1
Заметим еще, что в том случае, когда функция Р(х) есть евклидово расстояние точки х от поверхности Р — О (или отличается от этого расстояния на малую высшего порядка), форма ш на S совпадает с евклидовым элементом da поверхности 5.
