Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
^aj(x) dxx ... dXj_.LdXj+l ... dxn есть форма я-го порядка:
Пользуясь правилом (1), нетрудно проверить, что для любой формы а
dda=0. (6)
Рассмотрим вопрос об интегрировании дифференциальных форм по областям и многообразиям.
Примем, что форма п-го порядка а = а(х)dxx ... dxn интегрируется по п-меркой области G пространства Rn по обычным правилам многомерного интегрирования.
Теперь мы хотим определить интеграл от формы /г-го порядка по fe-мерной области. Предварительно скажем несколько слов об ориентации областей и поверхностей.
Если в некоторой окрестности V (любого числа измерений т) задана локальная система координат их, .... ит, то говорят, что этим определяется ориентация окрестности V. Та же ориентация определяется любой другой локальной системой координат vx, .... vm, переход от которых к их.....ит выражается функциями с положительным якобианом. Возможна еще противоположная ориентация V. Она определяется любой локальной системой координат wlt wm, переход от которых к их, ...,ит выражается функциями с отрицательным якобианом.
Область или поверхность Г (т измерений) называется ориентируемой, если в окрестностях всех ее точек можно
1] § 1. ОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 269
определить ориентации согласованным образом, т. е. так, чтобы координаты, действующие в пересекающихся окрестностях, определяли в пересечении одну и ту же ориентацию. Неориентируемые поверхности (например, лист Мёбиуса) мы не будем рассматривать.
Пусть некоторая /«-мерная окрестность U содержится в (гп-\- 1)-мерной окрестности V и разделяет последнюю на две части: одну из этих частей будем считать внутренней, а другую внешней. Допустим, что система координат wy, . . ., wm в U может быть дополнена до системы
координат w0, wx.....wm в V. Тогда мы условимся говорить,
что соответствующая ориентация V отвечает положительному направлению нормали, если w0 возрастает во внешнюю сторону от U; в противном случае мы будем говорить, что ориентация V отвечает отрицательному направлению нормали.
Определим теперь интеграл от формы a k-ro порядка по ^-мерной (k^,n) ориентируемой области Г. Предположим эту область замкнутой, ограниченной и достаточно гладкой. Разобьем Г на куски Г^1), Г(да), в каждом
из которых можно ввести локальные координаты, и введем эти координаты согласованным образом. Тем самым на Г определится одна из двух возможных ориентации. Приведем форму а в каждом куске Г<*) к выбранным в нем локальным координатам Uy.....ик. Если форма ос была задана в «-мерной области, содержащей область Г, то локальные координаты «!, . . ., ип нужно выбирать так, чтобы л — k из них, например uk+t, ип, обращались в нуль на Г;
тогда duk+1 — 0.....dun=Q на Г, так что форма а приводится к виду
а = а (йх, . . ., ик) duy . . . duk.
Проинтегрируем в этих координатах форму а обычным образом по каждому куску Г(г> и сложим результаты. Нетрудно понять, что определенное так значение интеграла J* а не зависит от разбиения области Г на куски г
и от выбора локальных координат в каждом куске, отвечающих фиксированной ориентации: достаточно вспомнить,
270 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
что при переходе к новым координатам и[.....а'к форма а
приобретает вид
а = а(их(и[, а'к).....ик (а[, ...,а'к))Х
fay.. uAdu, d , \ "i¦•• "*/ 1 к
Однако, если мы во всех кусках Г<*> перейдем к локальным координатам, отвечающим противоположной ориентации, то величина интеграла Г а изменит знак, так как
г
в этом случае якобианы D
отрицательны.
Таким образом, J а определен однозначно с точностью г
до знака, а знак, в свою очередь, однозначно определен ориентацией области Г.
Формула Гаусса — Остроградского. Пусть форма а порядка п — 1 задана в некоторой ограниченной «-мерной области О с кусочно-гладкой границей Г. Предположим ориентацию области О отвечающей положительному направлению нормали к границе Г. Через da, как и'выше, обозначим внешний дифференциал формы а, Тогда справедлива формула
называемая формулой Гаусса — Остроградского. Если ориентация G отвечает отрицательному направлению нормали, то перед одним из интегралов нужно поставить минус.
Для примера рассмотрим форму а 2-го порядка в трехмерном пространстве. В координатах хх, х2, х3 она записывается в виде
а = ах dxo dx3 а2 dx3 dxx -j- a3 dxx dx2, а ее дифференциал — в виде
da = [тгх + J%+Jij) dx* dx* dx»
1] § 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ НА ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 271
в
*) См. Ж. де Ра м, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, 1956, где эта формула приведена ¦ в терминах, близких к здесь используемым.
и формула Гаусса — Остроградского приобретает вид J [ах dx2dx3-{-a2 dx3 dxx-\—a3 dxLdx2] =
в котором она обычно и приводится в курсах анализа.
Обобщением формулы Гаусса — Остроградского является формула С т о к с а *). Она записывается в той же форме
j" da = fa,
в г
только здесь уже О есть ^-мерная ограниченная область (k < п), а а — форма (k — 1)-го порядка; ориентация области О по-прежнему предполагается отвечающей положительному направлению нормали к границе Г.
