Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Производная функционала g^Z' определяется формулой
ds)>
g(s + Щ — g (s)
можно определить ее и как предел отношения —-^-2-.
Так же как и в пространстве /С', обобщенные функции g<zZ' допускают неограниченное дифференцирование. Но, в отличие от первых, обобщенные функций g? Z' не только бесконечно дифференцируемы, но и аналитичны; это означает, что для каждой g(^Z'
со
%giq4s)~ = g(s-{-n), (4)
3=0
где ряд слева сходится в смысле сходимости в пространстве Z'', a g(s-\-h) — сдвиг функции g(s) на число п.
202
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[5
Действительно, для любой tp(s)?Z
и ряд ^ ^ ^ fe фй) (5) сходится в смысле сходимости в Z, как мы уже отмечали, к функции ф(5 — я); таким образом,
(S^^^f- 4(s)) = (g(s)- 4(s — h)) = (g(s-{-fi), фОО), что и требовалось.
Отметим, в частности, разложение
со
8(* + Л)=2ЗЙ)^)$' (5>
9=0
справедливое при любом (комплексном) я; при этом сдвинутая дельта-функция 8 (s -\—h) определяется равенством
(8 (*-г-Л). ф(5)) = (8(*). ф(5 — Л)) = ф(— Л). (6)
В случае нескольких независимых переменных пространство Z' строится аналогично. В нем, как и выше, определяются сложение, умножение на число, предельный переход
и умножение на функцию h(s) — h (51? . . ., sn). Функция h (s) будет мультипликатором в Z, если она непрерывна, аналитична (т. е. аналитична по каждому st при фиксированных st, ... ----Si_u si+1, . . .,- sn), и если
1Л(5)|<СвЬ.1^1+-+Ь»1^«1 (l-J-l^ 1)9, ... (1+l5J)?n.
Аналогично предыдущему определяются частные производные функционала g^Zr. Каждый функционал из Z' не только бесконечно дифференцируем, но и аналитичен, т. е. допускает разложение в ряд Тейлора, сходящийся в смысле сходимости в Z'.
5. Аналитические функционалы. В предыдущем пункте мы назвали функционал g на пространстве Z аналитическим, если он представлен в виде
(?• Ф) = / S О) т1 (5) ds>
5] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 203
где g(s)— некоторая функция, а Г — контур в комплексной плоскости (мы сначала рассматриваем случай одного независимого переменного).
Согласно общим правилам теории аналитических функций, в случае, когда g(s) — аналитическая функция, контур Г можно непрерывно деформировать без изменения величины (g, ф); при этом начало и конец контура должны оставаться закрепленными и контур не должен переходить через особые точки функции g(s). Так, функционал единица
может быть задан не только с помощью интегрирования вдоль вещественной оси, но и с помощью интегрирования вдоль любой линии, идущей из —оо и -f-oo в пределах некоторой полосы |Ims|например вдоль любой прямой, параллельной вещественной оси. Такие линии, т. е. линии, интегралы вдоль которых от любой основной функции ф равны, мы назовем эквивалентными. Если же мы будем интегрировать i по какому-нибудь иному контуру Г, то получим уже иной функционал. Например, если Г — замкнутый контур или петля, идущая в пределах полосы |Ims|<lC из —оо снова в —оо (или из -J-oo в -(-со), то получающийся функционал, очевидно, равен нулю. Такие контуры, т. е. контуры, вдоль которых интегралы от любой основной функции ф равны нулю, будем называть нулевыми или обобщенными замкнутыми.
Рассмотрим функцию g(s) = -^-- Можно построить с ее
помощью два различных аналитических функционала:
со
—со
+оо + аг
(а > 0),
—со+аг -f-co — аг
(а > 0).
В обоих случаях интегрирование ведется вдоль прямой, параллельной вещественной оси и расположенной в первом
204 ГЛ. И. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [5
случае в верхней полуплоскости, а во втором—в нижней. Оба эти функционала удовлетворяют уравнению
sg=\.
Разность между этими функционалами может быть приведена к виду
40= / ±?-ds
Is |=1
с интегрированием, например, вдоль единичной окружности по часовой стрелке. В силу формулы Коши
40 = — 2шф(0),
откуда
g+ —g_ = —2izib(s).
Функционал g0 = g+—g_ удовлетворяет, очевидно, уравнению _
sg0 = 0.
Рассмотрим общую дробно-рациональную функцию
g (s)=~оЬу '
Различные корни многочлена Q (s) обозначим через slf . . ., sn. Интегрирование по любой линии Г, эквивалентной вещественной оси, приводит к функционалу
(g> 40 = fg(s)y (s) ds, г
зависящему, вообще, от контура Г; всякий такой функционал удовлетворяет уравнению
Qg=P.
Интегрирование по любому нулевому контуру Г0 приводит к функционалу
(ib> 40 = f g(.s)V(s)ds,
также зависящему от контура Г0. Все эти функционалы удовлетворяют уравнению
Qgo = o.
5] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 205
Например, если Г0 — контур, обходящий в положительном направлении простой корень st многочлена Q(s), то
(go, ф) = f g (s) ф (.s) ds = 2ж1 выч.8=8Jg (S) ф (S)] = С ф
так что g0 = C$(s— s^. Если Г0 обходит ^-кратный корень st многочлена Q(s), то
(go, ф) = 2т выч.8=81 [g(s) ф (s)] =
Рассмотрим аналитические функционалы, связанные с функцией
g(S) = esn.
В силу равенства
j еьИ | = eRe s" = el 8 ln 003 п\ где в = arg 5
