Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
со
F [ср (х — /г)] = f e"*<p(x — h)dx =
— СО СО
—со
Обратно, операции умножения на eixh (при любом, может быть и комплексном, И) в пространстве К отвечает операция сдвига в пространстве Z:
со
F [eia)h ср (х)] = J gixhgiox у (Л) ^х =
— СО СО
= j (*+'>?(х)^ = ф(о-г-А).
— со
В частности, мы видим, что в пределах пространства Z функции ф(з) допускают всевозможные сдвиги.
Можно перенести в пространство Z и операцию предельного перехода, считая, что функции фч (s) стремятся к нулю, если их образы cp„(jr) стремятся к нулю в смысле, установленном для пространства К. Впрочем, эту сходимость в Z можно описать и внутренним образом. Именно, последовательность ф„ (s) стремится к нулю в Z, если, во-первых, выполняются неравенства
|^фч001<С^И1
с постоянными Cq и а, не зависящими от v, и если эти функции стремятся к нулю равномерно на каждом интервале оси а. Отметим, что разложение в ряд Тейлора
со
2фй)(*)^ = ф(* + А)
с любым фиксированным (комплексным) h имеет место в смысле указанной сходимости; это следует из справедливости двойственной формулы
оо 0=0
в смысле сходимости в пространстве К.
3] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ основных ФУНКЦИЙ 199
3. Случай нескольких переменных. Наши построения могут быть почти без изменений перенесены на случай п независимых переменных. Преобразование Фурье основной функции ср(х) = ср(хи хп) определяется по формуле
Ф(в) = «К°1.....=
со со
= / . . . / ср (xt. ...,xn)el ^ - +*п°п) dXl,m. dXn
—со —со
или, короче,
ф(о)= J* <р(х)е*(х- °)dx, (1)
*»
где через (х, о) обозначена величина хгах -j-. . . _]_ хпап. Вследствие финитности функции ср (х) функция ф может быть распространена и на комплексные значения аргумента 5 = Oi.....*n) = (°i -h i4i- • ¦ • ¦ ап + *tj:
ф (5) = J ср (х) el ^ s> ds. (2)
Полученная функция ф($), определенная теперь в «-мерном комплексном пространстве С„, непрерывна и аналитична по каждому из аргументов sL, . ¦ ., -sn. Если функция ср(лг) обращается в нуль при | хк | > ак (k—\, 2, .... п), то ее преобразование Фурье ф(s) допускает оценку
4t(3! + "......Оя + /тп)|<Свв«.1^1+-+»»'^|.
(3)
Обратно, всякая целая функция ty(sx, .... sre), удовлетворяющая неравенству (3), является преобразованием Фурье
основной функции ср (jCj..... хп), обращающейся в нуль
при | хк | > ак (/г= 1, 2, . . ., п). (Доказательство проводится так же, как и для одного переменного.) Имеют место формулы, аналогичные формулам (4) п. 1 и (3) п. 2:
р ("4"'' • •' э|г)F [cpl = F [Р {iXl' •" •' iXn) ? {x)h (4) F[PUk' •••¦яЬ)*<*>] = р<-'*- (5)
где Р— любой многочлен с постоянными коэффициентами.
200
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[4
Пространство всех целых функций ф(я), удовлетворяющих неравенствам вида (3), в котором естественным образом определены линейные операции — сложение и умножение на число, по-прежнему, будем обозначать через Z. Преобразование Фурье устанавливает между пространствами К и Z взаимно однозначное соответствие с сохранением линейных операций. Предельный переход в пространстве Z определяется следующим образом: последовательность ф„(«) (v=l, 2, . . .) называется сходящейся к нулю, если последовательность соответствующих основных функций ср„ (х) стремится к нулю в пространстве К. Внутренним образом эта сходимость описывается так: выполняются неравенства
с постоянными Cq и а, не зависящими от v, и функции ф„ (а) стремятся равномерно к нулю на каждом ограниченном множестве вещественного пространства Rn.
4. Функционалы на пространстве Z. На пространстве Z, как и на пространстве К, можно строить линейные непрерывные функционалы — обобщенные функции. Рассмотрим снова случай одного независимого переменного. Регулярными • функционалами мы и здесь будем называть функционалы, заданные выражениями вида
со
(g< Ф>= / ?(°)т(°)*>. (1)
— СО
Функционалы вида
(g, 40= fg(s)y(s)ds. (2)
L
где L — некоторая линия, будем называть аналитическими функционалами. Так, дельта-функция (8 (s — s0), ф) = ф(«о) (где s0 — уже произвольное комплексное число) есть не регулярный, но аналитический функционал, поскольку, в силу формулы Коши,
тЧ%) — 2nlJ s-s0 ' h
4]
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ 201
где L — любой контур, заключающий внутри себя точку s0; таким образом, b(s — s0) является аналитическим функционалом, отвечающим функции ^---— .
2iii s — s0
Совокупность всех обобщенных функций на пространстве Z обозначается через Z'. С обобщенными функциями на пространстве Z можно производить операции, аналогичные операциям, введенным нами для обобщенных функций на пространстве К. Ясно, что определения линейных операций— сложения и умножения на число, а также предельного перехода не содержат ничего нового. Умножение на функцию h (s), формально определяемое равенством
(h(s)g. Ф) = (#, Лф), (3)
теперь становится выполнимым уже для значительно более узкого круга функций h (s). Действительно, для корректности этого определения нужно, чтобы произведение функции h (s) на любую основную функцию ф(«) приводило снова к основной функции. Функции h (s), обладающие этим свойством, мы будем называть мультипликаторами в Z. Функция h(s) обладает этим свойством, если она сама является целой аналитической функцией и удовлетворяет неравенству вида | h (s) | <С Се61 т1 (1 -f-1 5 [ )q при некоторых Ъ, q и С.
