Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим вначале случай одного переменного.
Пусть ср (х)— некоторая основная функция. Построим ее преобразование Фурье:
со
ф(о)== J* y(x)eiaxdx. (1)
—со
Функцию ф(а) будем обозначать также символами ср (л:) и Flf(x)}.
В действительности, поскольку ср (х) — финитная функция, интеграл (1) распространен на конечную область, например — а <С х ^ а; поэтому функция ф (°) может быть определена и для комплексных значений s — a-f-ix: а а
ф (a -J- гЧ) = J* ср (х) eisx dx = J ср (х) eiaas е-™ dx. (2) - а —а
Так как интеграл (2) допускает дифференцирование по комплексному параметру s = a-\-iz, то (а-\-it)— целая аналитическая функция. Дифференцирование функции ср(х) приводит к умножению ф (s) на —is: действительно,
а а а
j ср' (х) eicos dx = ср (х) eixs — fis ср (х) eixs dx— —is ф (s).
1] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ основных ФУНКЦИЙ 195
«Пт(*)1 =
j <р(«) (х) eixs dx
Таким образом, преобразование Фурье каждой
основной функции ср(х), обращающейся в нуль при \х\^>а, есть целая аналитическая функция переменного s~a-\-ii, удовлетворяющая при каждом q — Q, 1, 2, ... неравенству
|5-?ф(5)|<Сд^^'. (5)
Мы утверждаем, что верно и обратное: всякая целая функция <p(s), удовлетворяющая при каждом q неравенству (5), есть преобразование Фурье некоторой беско-. нечно дифференцируемой функции ср(х), обращающейся в нуль при \х\^-а.
Функцию ср(х) мы, естественно, определим формулой
со —со
Используя формулу Коши, можно заменить интегрирование по вещественной оси интегрированием по параллельной прямой:
со
ср(х) = А У ф(а-г-/т)е-^а+")азй?а=2
— СО
4
СО
= 2^eta; JФ(о-{-/т) e~Uxda,
13* Зак. 450. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
Продолжая дифференцирование, получим, далее, для любого q — Q, 1, 2, ...
F (*)] = (- tsf F [ср (х)] (3)
и вообще
F [р (ix) ?Щ= р (- *'5>F i? (*)Ь (4>
где Р (?) — любой многочлен с постоянными коэффициентами. Вместе с тем мы получаем оценку
196 ГЛ. П. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ [2
причем интеграл, в силу неравенства (5), продолжает оставаться абсолютно сходящимся. Он продолжает оставаться абсолютно сходящимся также при формальном дифференцировании подынтегрального выражения по х; поэтому функция ср (дг) бесконечно дифференцируема и
со —со
Пусть | х | > а; зададим некоторое число t > 0 и найдем т из условия хх = — t \ х {. Используя неравенство (5) при q — О и «7 = 2, находим:
|ф(5)|<в-.^т,„{св.г^}<Ст^<С1^_1?;
со
1<рО0|<2^таг У cr^nvprfa==c'e-<|jrl+ai;=c'^(0-|a7|)-
— со
Так как С не зависит от t, то, устремляя t к оо, находим, что ср(х) = 0. Таким образом, при \х \ > я функция ср(лг) обращается в нуль. Итак, функция cp(jc) удовлетворяет всем высказанным условиям. В силу известной теоремы об интеграле Фурье *) ее преобразование Фурье совпадает с функцией Ф(з), что и требовалось.
Отметим еще одну полезную формулу: для любой основной функции ср(х)
FFl<?(x)] = 2«<p(-x).' (6)
Действительно, если F [ср (х)] = ф (а), то мы имеем:
^"11ф(в)]=^/ ^(a)e-^da = 9(x).
откуда
J ф (о) g*» da == /=• [ф (а)] = 2тгср (— jc),
что и утверждается.
2. Пространство 2Г. Изучение преобразований Фурье функций из пространства К, начатое в предыдущем пункте,
*) В. И. Смирнов, Курс, т. II, 1957, п. 160, стр. 467.
2] § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ основных ФУНКЦИЙ 197
естественно приводит к следующему определению. Введем пространство Z всех целых функций ф(5), удовлетворяющих неравенствам
мчадксдв*!*! (9 = 0,1,2,...) (1)
(где постоянные с и Сд зависят от функции ф), с очевидным определением основных линейных операций — сложения и умножения на число.
Как показано в п. 1, преобразование Фурье устанавливает между пространствами К и Z взаимно однозначное соответствие. Очевидно, что это соответствие сохраняет указанные линейные опера ц и и.
Отсюда следует, что каждой линейной операции, определенной в пространстве К, отвечает некоторая «двойственная» линейная операция, определенная в пространстве Z. Так, например, операции дифференцирования в пространстве К соответствует, в силу формулы (3) п. 1, операция умножения на — is в пространстве Z. С другой стороны, формула ,
оо
*t$p-= J ixeisxy(x)dx
— со
показывает, что операции умножения на ix в пространстве К соответствует операция дифференцирования в пространстве Z; повторяя эту операцию, приходим к формуле, справедливой при любом q — Q, 1, 2, ...:
g-Flcf]=F [(/*)« ср(х)]. (2)
Из существования правой части следует существование левой; поэтому в пространстве Z функции ф (s) можно неограниченно дифференцировать, не выходя за пределы этого пространства. Можно написать и несколько более общую формулу:
р шf w=F [Р vx) f(х)]- (з)
где Р (t) — любой многочлен с постоянными коэффициентами.
Операции сдвига ср (х) —> ср (х — п) в пространстве К отвечает операция умножения на etsh в пространстве Z;
198
ГЛ. II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
[2
действительно,
