Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
дХ dxj Jx~ dxj dXJx° Kl)
Действительно, для любой основной функции ср числовая функция
<р) = (л. —щ)
дифференцируема по X и имеет производную
J_(f__дЧ \ —( d/х д<? \_( д д f \
дХ Vх' dxj)~\dX ' dXj)~~\dxj dXJx'
Это означает, что функционал /х имеет производную по X и справедлива формула (1), что и утверждается.
31
ДОБАВЛЕНИЕ 2
191
3. Аналитические функции. Если X— комплексный параметр, пробегающий открытую область Л, то дифференцируемая в области Л обобщенная функция /х называется аналитической функцией от X. В этом случае все числовые функции (/х, ср) являются обычными аналитическими функциями от X в области Л. И обратно, если для обобщенной функции fx все числовые функции (/х, ср) являются аналитическими функциями от X в области Л, то и /х есть аналитическая функция от X (ср. § 3, п. 1). В этом случае в каждой точке X области Л существуют все производные и в окрестности точки \Q? Л имеет место разложение в ряд Тейлора
А = Л0 + (Х-Х0)^+1(Х-Х0)^+... (2)
Действительно, обобщенная функция -щ2 существует, так как
по условию при Х = Х0 существуют производные по X у всех числовых функций (fx, ср); по такой же причине существуют
dVx
и все высшие производные , . . . Далее, для каждой
основной функции ср(лг) справедливо разложение Тейлора обычной аналитической функции (/х, ср):
(Л- <р) = (Л, .?) + (* — *о) (А. т)
+
¦Хо
+ -2-<Х-Х°>2^5<А. ср)
х=х„
+ ..- =
= (Л..ср)-кх_хо)(^, ср) + 1(х-х0)2(^> *)+...= = (Л3+(Х-х0)^ + т(Х-хо)^+. ...ср),
откуда следует справедливость разложения (2).
Две аналитические функции /х и gx, определенные в области Л и совпадающие на множестве значений X, имеющем предельную точку внутри Л, совпадают при всех значениях Х?Л. Действительно, для любой основной функции <р(лс) выражения (/х, ср) и (gx, ср) совпадают в области Л в силу
192 ГЛ.' I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
классической теоремы единственности для аналитических функций.
На этом свойстве основан важный метод аналитического продолжения функционала /х по параметру X. Допустим, что функционал /х аналитичен в области Л. Предположим, далее, что все числовые функции (/х, ср) допускают аналитическое продолжение в более широкую область Av Тогда мы можем утверждать, что числа (/Xi, ср) при любом Х1с:Л1 также задают линейный непрерывный функционал на пространстве К. Действительно, аналитическое продолжение в любую точку области Аи как известно, всегда может быть осуществлено при помощи конечного числа переразложений в ряд Тейлора. Но каждый ряд Тейлора
поскольку он сходится при любой основной функции Ср и поскольку радиус его круга сходимости определяется конфигурацией областей Л и At и не зависит от ср, имеет своей суммой в круге сходимости снова линейный непрерывный функционал, что нам и требуется. .
Очевидно, что производные (по х) аналитической обобщенной функции /х суть также аналитические обобщенные функции от X. Отметим, далее, что аналитическое продолжение сохраняет многие свойства функционала /х. Например, если функционал /х в области Л инвариантен относительно операции и, так что /х (их) = /х (х), то и его аналитическое продолжение в область At инвариантно относительно этой операции. Действительно, равенство
справедливое в области Л, в силу единственности аналитического продолжения, остается справедливым и в области А1ш
Так, например, сферически симметричные аналитические функционалы имеют и сферически симметричные аналитические продолжения.
Заметим в заключение, что аналитическое, продолжение обобщенной функции, зависящей от параметра, так же, как
(Л<р(*)) = СЛ(*). ?(*)) = (Л(*). ТС»-1*)).
31
ДОБАВЛЕНИЕ 2
193
и аналитическое продолжение обычной аналитической функции, может привести к функции с изолированными особенностями (полюсами или существенно особыми точками), а также к многозначным функциям.
В окрестности изолированной особой точки Xq аналитическая обобщенная функция Д допускает разложение в ряд Лорана в классической форме
¦ оэ — оо
где сп(п = 0, ±1,^+2, . . .)—фиксированные (не зависящие от к) функционалы. Действительно, разложение в ряд Лорана имеет место для каждой основной функции ср:
со
сл. ?)=2с„(«р)(х—кг,
—оэ
причем коэффициенты сп(<$) выражаются по формулам Коши
е»ю=ы1№&Ь (w==0' ±1- ±2, ¦¦•>¦ (3)
г
где Г — контур в области аналитичности функции Д, заключающий внутри себя точку Х0. Интеграл (3) может быть представлен в форме
2*1 J \(X—Ao)«+i V 2«/j( Y; *x (X_-X0)n+1
и, по доказанному, снова является линейным непрерывным функционалом от ср. Мы можем положить поэтому сп (ср) == = (сп, ср), где сп — линейный непрерывный функционал.
со
Итак, а=2сп(л — ко)п> что и утверждалось.
—со
ГЛАВА II
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Преобразования Фурье функций из пространства АГ.
Начиная с этого момента, будем рассматривать пространство К комплексных основных функций (гл. I, § 1, п. 9) и соответствующее комплексное пространство К' обобщенных функций.
