Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
2°. Всякая обобщенная функция, сосредоточенная на ограниченном замкнутом множестве F, может быть представлена при любом е > 0 как (конечная) линейная комбинация производных от непрерывных функций, обращающихся в нуль вне ^-окрестности множества F.
Доказательства утверждений 1°—2° будут даны во втором выпуске (гл. II, § 4).
188 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
ДОБАВЛЕНИЕ 2 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В этом добавлении будут рассмотрены свойства обобщенных функций, зависящих от параметра, в частности свойства обобщенных функций, аналитически зависящих от параметра. Эти свойства во многом аналогичны свойствам обычных аналитических функций и доказываются по большей части путем сведения к обычным функциям. Существенной является теорема о полноте пространства обобщенных функций: если дана последовательность обобщенных функций fx, /2...../v, .... такая, что каждая числовая последовательность (/v, ср) имеет предел, то величина lim (/v, ср) = (/, ср)
определяет обобщенную функцию. Доказательство этой теоремы дается в Добавлении, помещенном в конце этого выпуска.
1. Непрерывные функции. Пусть каждому значению вещественного или комплексного параметра X, пробегающего некоторую область Л, поставлена в соответствие обобщенная функция fx- В соответствии с определением, данным в п. 8 § 1, обобщенная функция / называется пределом fx при X—>\0, если числовая функция (/х, ср) стремится к (/, ср) при любом ср. Функция fx называется непрерывной по X в области Л, если при любом Хц?Л имеет место соотношение fx0 = Hm fx.
х->х„
Рассмотрим весьма важный вопрос о доопределении обобщенной функции fx по непрерывности по параметру X. Представим себе, что обобщенная функция Д определена и непрерывна на множестве Л, имеющем предельную точку Xq, в которой обобщенная функция /х заранее не задана. Спрашивается, возможно ли доопределить обобщенную функцию /х в точке Хо так, чтобы получилась обобщенная функция, непрерывная на множестве A-f-X,,.
Очевидно, что необходимым условием для возможности такого доопределения является возможность доопределения по непрерывности всех числовых функций ср) в точке Xq. Это условие является и достаточным; действительно, если для любой основной функции ср и любой последовательности Xv —> Xq, Xv ? Л, существует предел последователь-
21
ДОБАВЛЕНИЕ 2
189
ности чисел (Д„, ср), то, согласно теореме о полноте пространства обобщенных функций, существует обобщенная функция / = А0. которая является пределом последовательности /Xv. Обычным путем доказывается, что эта обобщенная функция не зависит от выбора последовательности Xv —> Xq.
Заметим, далее, что производные (по х) обобщенной функции Д, непрерывно зависящей от параметра X, также непрерывно зависят от параметра X. Действительно, как мы видели в п. 4 § 2, из Д,-*Д0 следует
д f ъ д f dxj Ух* дх}- Jx°'
Непрерывные по параметру обобщенные функции Д можно интегрировать по этому параметру (ср. § 3, п. 10). Пусть, например, функционал Д непрерывен по X на спрямляемой кривой Г. Составим интегральную сумму
п
взяв разбиение кривой Г на га частей точками деления Xq, Xj.....Хп и выбрав произвольно точки Х^- на интервалах [Xj_lt ij]. При max | АХ^ | —>0 для любой основной функции ср, в силу непрерывности выражения (Д, ср), существует предел выражений
j=i\ j I
не зависящий от способа разбиения Г и выбора промежуточных точек Ху, равный интегралу от функции (Д, ср). Этот предел определяет линейный непрерывный функционал на пространстве основных функций; он называется интегралом от обобщенной функции Д по кривой Г.
Разумеется, интегрировать можно не только по кривой, но и по области любого числа измерений.
2. Дифференцируемые функции." В п. 1 § 3 было введено определение: обобщенная функция g-называется производной от обобщенной функции Д по параметру X при X — Х0,
190 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
если
л-л,
g= lim
х -> х4 Л — л0
Для существования производной ^ при Х = Х0 необходимо и достаточно, чтобы все числовые функции (/х, ср) были дифференцируемы по X при Х = Х0. Необходимость этого условия очевидна; проверим его достаточность. По условию, для каждой ср и любой последовательности Xv —> Xq существует предел отношения
(/х><р)-(л„.<р) (fx-А,
(fx-fx, \
X — Х0 \ X-Ад
Но тогда, как было указано выше, обобщенная функция *_, определенная при Х=^Х0, может быть доопределена по непрерывности и при X = Xq; иными словами, существует обобщенная функция, являющаяся пределом отно-
шения —г-при X—э-Xq, что и утверждается.
А— А0
Если /х имеет производную по X при любом Х?Л, то функция /х называется дифференцируемой по X в области Л.
Аналогично определяются высшие производные по параметру и многократная дифференцируемость функций.
Легко проверить, что если функция /х дифференцируема по X в области Л, то и все производные /х по х дифференцируемы по X и имеет место формула
J-JLf — д д f т
