Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
31
ДОБАВЛЕНИЕ 1
185
можно представить в виде (конечной) суммы основных функций
<P(*)=<Pi(*)-b ••• -+-?»(*)+----
где <?jc(x) обращается в нуль вне Uh. Тогда, по условию,
(/. <?к) = 0. откуда и (/, ср) = 2 (/. = 0. чт0 и требуется.
Приведем очевидное, но весьма важное следствие этого предложения: обобщенная функция f, равная нулю в окрестности каждой точки, есть нулевая функция, т. е. для любой основной функции ср
(/. <р) = 0.
Отметим еще одно следствие: если основная функция ср (х) равна нулю в некоторой окрестности U носителя F обобщенной функции /, то (/, ср) = 0. Действительно, согласно локальному определению, /=0 вне F, и остается сослаться на нелокальное определение.
Мы говорили, далее, что две обобщенные функции fug совпадают в окрестности точки х0, если их разность / — g в окрестности этой точки равна нулю. Доказанное выше предложение показывает, что обобщенные функции, совпадающие в окрестности каждой точки, равны друг другу. Таким образом, каждая обобщенная функция определена однозначно своими локальными значениями.
Можно использовать это свойство для построения обобщенной функции в целом, когда она задана локально. А именно, предположим, что у каждой точки лг0 имеется окрестность U (х0), такая, что для всех основных функций ср(х), обращающихся в нуль вне этой окрестности, заданы числа (/, ср), линейно и непрерывно зависящие от ср. Предположим, кроме того, что число (/, ср) при этом зависит только от самой функции ср и не зависит от выбора точки л:0, вне окрестности U (лг0) которой ср (х) равна нулю. Тогда можно утверждать, что существует функционал на пространстве К, совпадающий с функционалом f на тех ср(лг), на которых функционал f определен.
Для доказательства поступим следующим образом.
Окрестности U(х0) указанного вида, по условию, существуют у каждой точки и образуют, следовательно, покрытие пространства R. Без ограничения общности можно считать эти окрестности ограниченными. Как и выше, пользуясь
186 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4
леммой Гейне — Бореля, из этого покрытия можно выбрать счетное покрытие Uu .... Um, .... обладающее тем свойством, что каждый шар | х | <^ п пересекает лишь конечное число окрестностей tVj. Согласно замечанию в п. 2 всякая основная функция ср(лг) представима в виде
оо
<p(*)=.2<PiC*). (1)
где ср4(х) — основная функция, равная нулю вне причем сумма на самом деле всегда конечна. Для всех слагаемых определены значения функционала /. Положим, по определению,
со
(/. <р) = 2(/. ЧЧ). (2) !
1
Мы получили, очевидно, линейный функционал на пространстве основных функций. Он является и непрерывным функционалом. Действительно, если последовательность основных функций ср стремится к нулю в пространстве К, то, как отмечено в п. 2, <?т(х) —у 0 в К при каждом фиксированном от. При этом сумма справа в (1) содержит I
фиксированное число слагаемых, поскольку носители функ- J
ций ср заключены в фиксированном шаре. Поэтому и(/, ср) —>- 0. j
Очевидно, что на основных функциях ср, равных нулю вне окрестности Um, значения построенного функционала совпадают со значениями исходного, так как в этом случае все cpf справа в (1) равны нулю вне Um.
Отсюда следует, что определение функционала / не зависит от выбора покрытия с указанными выше свой-
ствами: если {Vj}—другое покрытие с этими свойствами и g—получаемый с его помощью функционал, то f — g локально, а потому и в целом.
4. Дифференцирование как локальная операция. Мы
говорили, что обобщенная функция / равна нулю в окрестности точки х0, если она обращается в нуль на всякой основной функции, отличной от нуля только в пределах этой окрестности. Покажем, что в этом случае и все производные обобщенной функции f равны нулю в этой окрестности. В самом деле, если основная функция ср от-
4]
ДОБАВЛЕНИЕ 1
187
лична от нуля только в пределах окрестности U (х0), то и все ее производные отличны от нуля только в пределах этой окрестности; поэтому для любой такой функции
что и утверждается.
Отсюда следует, что функционалы, совпадающие в области О, имеют в этой области и совпадающие производные любого порядка.
Пусть, например, функционал / в области G совпадает с регулярным функционалом, соответствующим дифферен-
цируемой функции f(x). Тогда совпадает в области О
с регулярным функционалом, порожденным функцией
OXj
Таким образом, даже для сингулярных обобщенных функций там, где можно дифференцировать обычным образом, мы получаем и обычные производные.
Другим выводом из сказанного является следующий факт: если функционал f сосредоточен на множестве F, то его
производные з—4— и т- д- также сосредоточены
на множестве F.
Например, производные дельта-функции § (лг— х^) сосредоточены в точке х0 (что, впрочем, и непосредственно очевидно); любая производная от непрерывной функции, обращающейся в нуль вне замкнутого множества F, сосредоточена на этом множестве F.
Замечательно, что эти предложения допускают обращения: 1°. Всякая обобщенная функция, сосредоточенная в одной точке х0, может быть представлена как (конечная) линейная комбинация функции Ь(х — xQ) и ее производных.