Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 53

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 125 >> Следующая


31

ДОБАВЛЕНИЕ 1

185

можно представить в виде (конечной) суммы основных функций

<P(*)=<Pi(*)-b ••• -+-?»(*)+----

где <?jc(x) обращается в нуль вне Uh. Тогда, по условию,

(/. <?к) = 0. откуда и (/, ср) = 2 (/. = 0. чт0 и требуется.

Приведем очевидное, но весьма важное следствие этого предложения: обобщенная функция f, равная нулю в окрестности каждой точки, есть нулевая функция, т. е. для любой основной функции ср

(/. <р) = 0.

Отметим еще одно следствие: если основная функция ср (х) равна нулю в некоторой окрестности U носителя F обобщенной функции /, то (/, ср) = 0. Действительно, согласно локальному определению, /=0 вне F, и остается сослаться на нелокальное определение.

Мы говорили, далее, что две обобщенные функции fug совпадают в окрестности точки х0, если их разность / — g в окрестности этой точки равна нулю. Доказанное выше предложение показывает, что обобщенные функции, совпадающие в окрестности каждой точки, равны друг другу. Таким образом, каждая обобщенная функция определена однозначно своими локальными значениями.

Можно использовать это свойство для построения обобщенной функции в целом, когда она задана локально. А именно, предположим, что у каждой точки лг0 имеется окрестность U (х0), такая, что для всех основных функций ср(х), обращающихся в нуль вне этой окрестности, заданы числа (/, ср), линейно и непрерывно зависящие от ср. Предположим, кроме того, что число (/, ср) при этом зависит только от самой функции ср и не зависит от выбора точки л:0, вне окрестности U (лг0) которой ср (х) равна нулю. Тогда можно утверждать, что существует функционал на пространстве К, совпадающий с функционалом f на тех ср(лг), на которых функционал f определен.

Для доказательства поступим следующим образом.

Окрестности U(х0) указанного вида, по условию, существуют у каждой точки и образуют, следовательно, покрытие пространства R. Без ограничения общности можно считать эти окрестности ограниченными. Как и выше, пользуясь

186 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [4

леммой Гейне — Бореля, из этого покрытия можно выбрать счетное покрытие Uu .... Um, .... обладающее тем свойством, что каждый шар | х | <^ п пересекает лишь конечное число окрестностей tVj. Согласно замечанию в п. 2 всякая основная функция ср(лг) представима в виде

оо

<p(*)=.2<PiC*). (1)

где ср4(х) — основная функция, равная нулю вне причем сумма на самом деле всегда конечна. Для всех слагаемых определены значения функционала /. Положим, по определению,

со

(/. <р) = 2(/. ЧЧ). (2) !

1

Мы получили, очевидно, линейный функционал на пространстве основных функций. Он является и непрерывным функционалом. Действительно, если последовательность основных функций ср стремится к нулю в пространстве К, то, как отмечено в п. 2, <?т(х) —у 0 в К при каждом фиксированном от. При этом сумма справа в (1) содержит I

фиксированное число слагаемых, поскольку носители функ- J

ций ср заключены в фиксированном шаре. Поэтому и(/, ср) —>- 0. j

Очевидно, что на основных функциях ср, равных нулю вне окрестности Um, значения построенного функционала совпадают со значениями исходного, так как в этом случае все cpf справа в (1) равны нулю вне Um.

Отсюда следует, что определение функционала / не зависит от выбора покрытия с указанными выше свой-

ствами: если {Vj}—другое покрытие с этими свойствами и g—получаемый с его помощью функционал, то f — g локально, а потому и в целом.

4. Дифференцирование как локальная операция. Мы

говорили, что обобщенная функция / равна нулю в окрестности точки х0, если она обращается в нуль на всякой основной функции, отличной от нуля только в пределах этой окрестности. Покажем, что в этом случае и все производные обобщенной функции f равны нулю в этой окрестности. В самом деле, если основная функция ср от-

4]

ДОБАВЛЕНИЕ 1

187

лична от нуля только в пределах окрестности U (х0), то и все ее производные отличны от нуля только в пределах этой окрестности; поэтому для любой такой функции

что и утверждается.

Отсюда следует, что функционалы, совпадающие в области О, имеют в этой области и совпадающие производные любого порядка.

Пусть, например, функционал / в области G совпадает с регулярным функционалом, соответствующим дифферен-

цируемой функции f(x). Тогда совпадает в области О

с регулярным функционалом, порожденным функцией

OXj

Таким образом, даже для сингулярных обобщенных функций там, где можно дифференцировать обычным образом, мы получаем и обычные производные.

Другим выводом из сказанного является следующий факт: если функционал f сосредоточен на множестве F, то его

производные з—4— и т- д- также сосредоточены

на множестве F.

Например, производные дельта-функции § (лг— х^) сосредоточены в точке х0 (что, впрочем, и непосредственно очевидно); любая производная от непрерывной функции, обращающейся в нуль вне замкнутого множества F, сосредоточена на этом множестве F.

Замечательно, что эти предложения допускают обращения: 1°. Всякая обобщенная функция, сосредоточенная в одной точке х0, может быть представлена как (конечная) линейная комбинация функции Ь(х — xQ) и ее производных.
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed