Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
х±п, х+п\пх+..... мы можем выписать разложение в ряд
Лорана обобщенной функции х+ в окрестности точки ~к — — п. Для этого функцию F_n(x+, X) нужно разложить в ряд Тейлора, и мы получаем:
v »("-'> (X) п .
Х+ — (п — 1)! (к + п) -h
-|-<х+Я)*;я1п*++ ... + edi»? +
Тейлорово разложение функции хх_ в окрестности регулярного значения Х0 имеет вид
х\= хх2 -4- (X — Х0) хк_° In + -1 (X — Х0)2 х*! In2 х_ + . . .
Здесь фигурируют новые обобщенные функции х\ \пк х_ (&=. 1, 2, ...,); k-я функция есть присоединенная функция степени X и порядка k. Все они аналитичны по X при
Следовательно,
^^^-^-^-Ь-Ц^^Сх). (5)
Таким образом, хотя мы с обычной функцией х~^_п и сопоставили обобщенную, нам пришлось при этом «пожертвовать» обычной формулой дифференцирования; регуляризация (4) не есть каноническая регуляризация функции х~п.
Полезны также производные по X функции F_n(x+> X) при Х =— п. Мы обозначим их соответственно
4-/7_n(*+, Х)| =xln\nx+,
ОЛ 1Х=-П
118 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
X Ф—1. —2, ... и определяются в полосе —п—1 < <ReX<—га формулами
со
(х*_1п*х_, ср) = j хЧп*х[ср(— х) — ? (0) 4-л-ср'(0) — ... о
• • • - ^(Г-'Г)!"1 (0)] dx. (6)
Чтобы выписать разложение функции х\ в окрестности полюса Х= — га в ряд Лорана, выделим и здесь слагаемое, перестающее сходиться при Х=—га:
о 1
J x\y(x)dx= J хх [<р(— х)— cp(0) + xcp'(0)— ...
—со О
••• -(-D"-l^ji^(Q)]^-f--
оо
+ / *х[?(— *) — ?(0) + Агср'(0)— ... 1
Сумма интегралов справа — это правильная часть искомого ряда Лорана. Она аналитична при |ReX-(-ra|< 1. Обозначим этот функционал через F_n(x_, X). Таким образом,
со
(F_n(x_, X), ср)= f хх [<р(— x)~cp(0)-f-xcp'(0)— ... о
••• —(—l)n~ljjj^?ln-l40)B(l-x)]dx.
Значение этой функции при X = — га, т. е. значение при X = —га правильной части лоранова разложения для х\, обозначим через xZn, так что
xZn = lim ^.[(Х-г-я)*!].
3] § 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ 119
4rf_w(x_, X)
dl х—я
§^F_n(x_, \)\^^ = xZn\n*x_,
х_п In Х_ ,
Явные определения этих обобщенных функций получаются из формулы (7) заменой х~п на х~п\пх, х~п\п2х, ...
Разложив аналитическую функцию F_n(x_, X) в ряд по степеням Х-]-я, получаем ряд Лорана для функции х\:
= (п -IV Q?+ л) + Х'~П + (Х + "> 1П *- + ••• (8) В этом ряду коэффициент при (X-j-я)-1 есть однородная функция степени —я, а коэффициент при (Х-}-я)"*, /я = 0, 1, 2, ... есть присоединенная функция степени —а и порядка т -4- 1.
3. Разложение функций | д: |х и | х |х sgn х. Выпишем тейлоровы и лорановы разложения функций j х [х и |x|xsgnx. Мы получим их, естественно, комбинированием соответствующих разложений для функций х\ и х\. При этом мы опять введем ряд новых обобщенных функций.
Если Xq — регулярное значение для обобщенной функции | х iх, то
|л-|х=|х|х» + (Х— Хо)|х|х°1пИН- -
+ 1(Х-)^)21-1хМп2|х|+ ... (1)
Эта обобщенная функция действует на основные функции ср по формуле
со
(xZn, <р) = f X-n[cp(— X) — ср(0) + хср'(0)— ...
о
••• —(-D"-1^^-,?^-1) (0)6(1 — x)]dx (7)
и является регуляризацией обычной функции xZn. Подчеркнем еще раз, что обобщенная функция xZn не есть значение аналитической обобщенной функции х\ при X = — я.
Производные по X функции F_n(x_, X) при Х =— я обозначим соответственно
120 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
Здесь введены новые обобщенные функции | л: |Л lnfc | X [; k-я функция есть присоединенная функция степени X и порядка k. Все они аналитичны по X при X Ф—1, —3, ... и определяются при —2т—l<ReX<—2т-\-\ формулами
со
( | х |х lnfc \х\, ср) = J xx In* лг| ср (х) -f- Ср (— х)-
о
-2[?(0) + ^Г-*2-Ь ••• +(2Г-2)1 ?(am~2) (2)
Аналогично, если Хд — регулярное значение обобщенной функции | х |х sgn х, то тейлорово разложение этой функции в окрестности точки Хд записывается в виде
|x|xsgnAr = |x|x sgnx-KX — X0)|x|x"ln|x|sgnx-f-
-f-i-(X —Xo^lxj^ln^xlsgnx-f ... (3)
Здесь I x \x In* I x j sgn x — новые обобщенные функции; k-я из них—присоединенная функция степени X и порядка k. Все они аналитичны по X при \Ф—2, —4, ... и определяются при —2т — 2 •< Re X •< —2т формулами
со
( | X jx In* | X \ Sgn X, ср) = У Xх lnfc X | ср (х)-ср (-X)-
о
— 2[*9'(0)-|-?ср- (0)+ . . . +(2C-"l)! т^-'КО)] } dx. (4)
Если Xq = —2т — 1, так что Хд— полюс 1-го порядка обобщенной функции | х |х, то разложение Лорана этой функции в окрестности точки Х0 записывается следующим образом:
{х ,х = 2 »™(*> 1 ^ +^-i + x=*-i + 1 I (2/й)! X -f- 2m -f-1 ' + ' 1
+ (Х-+/-2я»+1)[лг+я,|*~11пд;+ + дг1а,я"11п:с_]-т- ... (5)
Аналогично, если Хд =—2т (полюс 1-го порядка функции |jcjxsgnx), то лораново разложение |x|xsgnAr в окрестности
3]
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ
121
этой точки.имеет вид
|х| sgnx_ —2 (2m_1), Х-+2^Г+ЛГ+ —Х- +
-j-!(X-(-2/n)[x+2raln лг+— xl2mlnx_]+ ... (6)
Обобщенную функцию х+2т-1 -4- лг!3"*-1 мы будем обозначать через | лг |-3m-1. Результат ее применения к основной функции ср(х) выражается формулой
