Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Так как р и [lj при заменах локальных координат преобразуются по ковариантному закону, то мы можем считать их ко-векторами, заданными в точке q (t)?M. Следовательно, для касательных векторов W^T4(I)M корректно определены выражения p-w и \L\no.
Определение. Функционал
<<
F (©) = J Ldt = jj L (ш (О, <*(t), t) dt
ш /і
называется действием.
Теорема 2 (формула первой вариации действия).
<>
6F (Wr) =UZ.]-Wr) dt. (6)
и
<] Пусть а (и)—вариация пути со. Тогда
<1
Интегрируя по частям первое слагаемое подынтегральной функции, получим:
IL <p)=p.W\'t ([?]. W) dt. і,
Осталось учесть, что W(/i) =0, W(t2) =0. t>
Определение (принцип Гамильтона). Путь e>6Q называется движением лагранжевой системы (MtL)t если ои является критической точкой функционала действие.
Из формулы (6) следует, что критические пути функционала F совпадают с решениями уравнения Лагранжа [L].(t)—0. В частности, ограничение движения со(/) на любой подынтервал [/і, снова будет движением.
В локальных координатах q на M уравнение Лагранжа мож. до записать в явном виде: A (q, qt q, 0, где
A=L...
я я _ _ _
Лемма 3. Пусть A=Ll^. Тогда A =I*~xAI~l.
я я
Если det 4=^=0, то уравнение Лагранжа можно разрешить относительно ускорений. Отсюда вытекает, в частности, что состояние системы в момент времени ^oeA однозначно определяет
23ее движение. Подчеркнем, что, согласно лемме 3, условие невырожденности матрицы А не зависит от выбора локальных координат на М.
2.4. Уравнения Пуанкаре. Пусть V1, ^2,...,-о,,—независимые касательные векторные поля на «-мерном многообразии М. В каждой точке q(*M коммутаторы [V1, Vj] можно разложить по векторам V1,..., vn как по базису: [Vi, vJ]=^cfJ(q)vk. Если
q:A-+ М—некоторый гладкий путь и / — гладкая функция на М, то
я
/ = //^ = 2^(/)^. (7)
{-1
где V1 (/) — производная от / вдоль V1. Переменные ш суть линейные функции скоростей. Они называются швазаскор ос тямт. Представим лагранжиан в виде функции от q и о>: L (ш, q) = =L(q,q). Пусть q(a, t)—вариация пути q(t). Положим
df(q(u,t)) V
да =2d Vі (Л™Г
і
Учитывая перестановочность дифференцирований по q и і, получим равенства
дщ_ dm* у k du dt -гAcijwtwг
і.І
Вычислим вариацию действия в квазискоростях: 11
+/ 2 кг+2 ?4" (г>Ь"<-
<1 ь
Поскольку вариации Wk независимы внутри интервала (tx, t2) и обращаются в нуль на его концах, то принцип Гамильтона дает нам уравнения движения в координатах q, (о:
Они впервые получены Пуанкаре (Н. Poincare) в 1901 г. Если в качестве Vk взять независимые векторы dtdq^, то уравнения Пуанкаре перейдут в обычные уравнения Лагранжа.
Пусть теперь M — группа Ли G и v\,..., vn — независимые левоинвариантные поля на G. В этом случае Oyft=const. Предположим, что лагранжиан инвариантен относительно левых сдвигов на G. Тогда Vk(L) **0 и, следовательно, L зависит
24шшь от квазискоростей со, которые следует рассматривать как .«юрдинаты в алгебре Ли g группы G. В этих предположениях уравнения Пуанкаре являются замкнутой системой дифференциальных уравнений на g.
Пример 3. Твердым телом с неподвижной точкой мы назовем совокупность материальных точек, на которую наложены следующие связи (в смысле п. 2.1):
а) неизменны расстояния между точками, в) одна из точек тела совпадает с некоторой фиксированной точкой из E3.
Ясно, что множество всех положений твердого тела можно однозначно получить из некоторого его фиксированного положения с помощью поворотов E3 вокруг точки о. Поэтому пространство положений этой системы можно отождествить с группой SO (3). Вращение твердого тела задается функцией В (і), где В — ортогональная матрица из SO (3). Скорость вращения тела B(t) есть касательный вектор к группе в точке B(t). Естественно перенести этот вектор в касательное пространство к группе в единице, т. е. в алгебру Ли so(3). Это можно сделать двумя способами: левым и правым сдвигом. В результате мы получим две кососимметрические матрицы В~1В и ВВ~1 из алгебры so (3).
Пусть R(t)—радиус-вектор точки тела в неподвижном пространстве. Тогда R(t)=B(t)R(0) и, следовательно,
V (0 =&{t)R (0) - Ё (О В'1 (t) R (/).
В трехмерном ориентированном евклидовом пространстве любой кососимметрический оператор есть оператор векторного умножения: QX(-). В результате получаем формулу Эйлера V=QxR. Вектор Q называется вектором угловой скорости в пространстве.
Если г — радиус-вектор, v — скорость той же точки в подвижном пространстве, связанном с твердым телом, то снова W = CDXr, где (0 = B~lQ — вектор угловой скорости в теле. Соответствие f:B~xB-*~со задает изоморфизм алгебры so(3) (которую можно трактовать как алгебру левоинвариантных полей на SO(Z)) и алгебры векторов трехмерного ориентированного евклидова пространства, в котором коммутатором является обычное векторное умножение.
Пусть m — распределение массы в твердом теле. Кинетическим моментом тела (в подвижном пространстве) назовем вектор
(rxv)dm~l (гХ (соXr))dm. Линейный симметрический оператор А : vt-+-k называется оператором инерции, а его собственные взаимно перпендикулярные направления Ii — осями инерции. Собственные значения оператора А можно вычислить по формуле