Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
* E
следует из теоремы 2: если к системе добавить экспоненциально малый член, то все траектории на торе станут циклами).
Далее, если при сколь угодно малых е тор может быть не аналитичен по фазовым переменным, то он не аналитичен и по е. Действительно, как отмечалось выше, процедура исключения быстрой переменной позволяет написать формальное разложение тора в ряд по е. Все коэффициенты в этом разложении — аналитические функции фазовых переменных. Если тор аналитичен по є в окрестности нуля, то это формальное разложение обязано совпадать с истинным (как асимптотическое разложение аналитической функции), сходиться и, следовательно, представлять аналитическую функцию фазовых переменных. Итак, в рассматриваемом случае тор не аналитичен по е. D>
Неаналитичность тора по е можно продемонстрировать на очень простых примерах, в которых аналитичность по фазовым переменным все же имеется.
Пример 5 ([53]). Пусть p. <с> mod 2л — полярные координаты на плоскости медленных переменных. Рассмотрим в кольце 1/2<р<2 уравнения возмущенного движения
Рис. 30
ISS •pe-e[p-l+P(», ф)І, '» = 8, ф = 1,
+ в*веХР(-"1^1)' kzT=0-
Усредняя по Ф, получим
P= — є(р— 1), # = В.
Окружность р= 1— предельный цикл усредненной системы. Легко определяется инвариантный тор точной системы
В сколь угодно малом комплексном круге |є|<єо найдется значение є, при котором один из знаменателей в этой формуле обращается в нуль. Следовательно, инвариантный тор не ана-литичен по е. Д
Если усредненная система имеет вырожденное положение равновесия (цикл), то вопрос о существовании и устойчивости периодического решения (тора) точной системы, как правило", может быть решен с помощью высших приближений процедуры исключения быстрых переменных.
Пример 6. (Устойчивость верхнего положения маятника с вибрирующей точкой подвеса [51], [74]). Уравнение движения маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные синусоидальные колебания, при наличии вязкого трения имеет вид
O + vi> + (g — Д(|)2 S in со/) J"1 S in O = 0.
Здесь 0 —угол отклонения маятника от вертикали, а и to — амплитуда и частота колебаний точки подвеса, / —длина маятни-ка, g — ускорение свободного падения, v —коэффициент затухания. Покажем, что при достаточно высокой частоте и малой амплитуде колебаний точки подвеса верхнее положение равно-
DT
весия маятника устойчиво. Обозначим т = сot, К*=—Zr-,
_ й)-Л
j, е = J- и будем считать, что К, б—величины
порядка 1, а є мало. Уравнение движения, линеаризованное около верхнего положения равновесия, имеет следующий вид (штрих обозначает дифференцирование по т):
X" 4- гЬх' + E2 (sin т - КЧ"1) X=0.
Введя у=х'/е, перепишем уравнение в виде системы, пригодной для применения усреднения:
х' = еу,
у'= —еб*/+е(—sin г-+-/C2S2)*. '> При неконсервативном возмущении.
166 В усредненной системе равновесие х=у=0—вырожденное. После двух шагов процедуры исключения быстрых фаз система приводится к виду
х'=єу+0(г*),
у' = —so у + е3 (/C2—1/2 )х+0 (г*). Отбросив члены порядка е4, получаем укороченную систему В ней равновесие х=у=0 устойчиво при К<_ 1/V2 и неустойчиво при К> 1/V^2 (для достаточно малых е). Нетрудно показать, что для затухания 6^0 у исходного маятника при таких К и достаточно малых е верхнее положение соответственно устойчиво или неустойчиво0.
Явление стабилизации верхнего положения маятника при вибрации точки подвеса обнаружили Н. Н. Боголюбов [51] и П. Л. Капица [74]. Затем возможность стабилизации с помощью вибрации исследовалась в ряде работ (перечень см. в
[96]), среди которых наиболее известна работа В. Н. Челомея 127] о повышении устойчивости упругих систем. Недавно обнаруженные новые примеры влияния вибраций на устойчивость описаны в [128]. А
1.5. Усреднение в системах с постоянными частотами. Системы с постоянными, т. е. не зависящими от медленных переменных, частотами возникают, когда рассматривается малое нелинейное взаимодействие линейных колебательных систем2', влияние на линейные колебательные системы квазипериодических возмущений или действие быстрых внешних квазипериодических сил на нелинейную неколебательную систему (скажем, влияние вибраций от двух несинхронных моторов на движение корабля или самолета).
Рассмотрим аналитическую систему стандартного вида (2) с постоянными частотами. Будем предполагать, что компоненты вектора частот (о сильно несоизмеримы:
|(fe, (о)| Xr1I k\-\ с,v=const>0 (11)
для всех целочисленных векторов кФ0. Как известно [30], при v>m—1 множество точек (О, для которых условие (11) не выполнено ни при каком с, имеет меру 0.
Теорема 4. Если частоты невозмущенного движения постоянны и сильно несоизмеримы, то различие между медленным движением /(0 в точной системе и /(/) в усредненной системе остается малым в течение времени 1/е:
1/(0-/(/) I <Cit, если /(0)=/(0), Os^==S 1/е.
¦> Если 6 = 0, /С>1/У2, то равновесие неустойчиво. Если 6 = 0, К< І/У2, то равновесие устойчиво, но доказательство этого требует новых идей (см. п. 3.5 Б). Применение процедуры исключения быстрых переменных в каждом приближении приводит к устойчивому равновесию с чисто мнимыми собственными значениями.
