Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 60

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 117 >> Следующая


'> Точнее, Н. Н. Боголюбов доказал этим способом подобную теорему для систем более общего вида (названных им системами в стандартной форме), частным случаем которых являются одночастоті ме системы и системы с квазипериодическим по времени возмущением [8], [9].

:> Обозначения для постоянных выбирают так, чтобы при увеличении г, С оценки сохранялись.

3) Положение равновесия называется невырожденным, если линеаризованная около него система ие имеет нулевых собственных значений.

162 венная часть одного из собственных значений положительна, то цикл неустойчив.

<] Введем фазу в качестве новой независимой переменной (нового времени). Рассмотрим два отображения Rn в себя: T0 — отображение сдвига за (новое) время 2я для усредненной системы, Ti — такое же отображение для точной системы, преобразованной с помощью замены переменных первого приближения, построенной в пункте 1.2. Отображения T0 и Tx сдвигают точку на величину порядка е, а отличаются друг от друга на величину порядка в2. У отображения T0 имеется невырожденная неподвижная точка Jt. По теореме о неявной функции у отображения Т\ при достаточно малом е имеется неподвижная точка J=J,+ 0(e). Очевидно она служит начальным условием для искомого предельного цикла. t>

Пример 4. Уравнением Ван-дер-Поля называется уравнение

x = — jc + є (i-jc2)x. описывающее колебания с малым нелинейным «трением», положи» тельным при больших амплитудах и отрицательным при малых. Невозмущенное уравнение jc = — jc можно записать в стандартном виде / =0, ч> = — 1, где 21=х2 + х2, ф = arg (л: + ix). Уравнение для / в возмущенном движении имеет вид

/ =е(1 —x2)jc2 = 2e/(l —2/ cos2 Ф) зіп2ф. Усредненное уравнение есть

У=е(У—У2/2).

Оно имеет отталкивающее равновесие J=O и притягивающее J=2. Равновесию J=O соответствует равновесие X=O исходного уравнения. Равновесию 1=2 соответствует, в силу сформулированной выше теоремы, устойчивый предельный цикл исходного уравнения, близкий к окружности х2+лс2=4-(рис. 29). Д

Если усредненная система имеет предельный цикл, и характеристические показатели линеаризованной около него системы имею! ненулевые вещественные части (кроме одного, который соответствует сдвигу вдоль цикла и равен нулю), то точная система имеет двумерный инвариантный тор, устойчивый или неустойчивый вместе с циклом, вдоль которого мед-

21-2

163 ленные переменные меняются в окрестности указанного предельного цикла размера порядка е [9], [89]. Процедура исключения быстрой переменной позволяет получить формальное разложение такого инвариантного тора в ряд по е. Для этого достаточно разложение предельного цикла системы (6), описывающей медленное движение, подставить в разложение замены переменных (5). Полученные ряды, как правило, расходятся (см. ниже Предложение 1 и пример 5). Однако они носят асимптотический характер: обрывая их на членах порядка ег, получаем приближение для инвариантного тора с точностью 0(ег+|).

Движение на двумерном инвариантном торс, рождающемся из цикла усредненной системы, характеризуется введенным

А. Пуанкаре числом. вращения ц(е)= Iim ^jp гДе

o, ф (modd 2я) — координаты на торе [7]. Если число вращения иррационально, то движение условно-периодично и каждая траектория обматывает тор всюду плотно. Если число вращения рационально, то на торе существуют циклы; если циклы невырождены, то их четное число (половина — устойчивые, половина— неустойчивые), и остальные траектории притягиваются к ним при /-»-±оо. Число вращения ц(е) в системе общего положения представляет собой непрерывную кусочно-постоянную на открытом всюду плотном множестве функцию от е (вроде кан-торовой лестницы, но только суммарная относительная мера интервалов постоянства на отрезке [0, ео] стремится к нулю при е<г-»-0). Существование интервалов постоянства связано с наличием на торе невырожденных циклов: при малом изменении е такие циклы не исчезают и, следовательно, число вращения не изменяется. При е-»-0 в системе общего положения на торе происходит бесконечная последовательность бифуркаций рождения и исчезновения циклов. Все эти явления не улавливаются формальной процедурой теории возмущений.

Заметим, что в аналитической системе предельный цикл, рождающийся из равновесия усредненной системы, аналити-чен и аналитически зависит от е (это видно из доказательства теоремы 3). При рождении тора из цикла усредненной системы картина совершенно другая.

Предложение 1.([89]). Инвариантный тор возмущенной системы, как правило (в случае общего положения), не ана-литичен по параметру е. Для открытого всюду плотного множества значений е тор имеет лишь конечное (но растущее с убыванием е) число производных по фазовым переменным.

<Пусть при некотором е = е*существует асимптотически устойчивый инвариантный тор, число вращения ц(е^) рационально и соответствующие циклы невырождены. Для простоты рассмотрим случай трехмерного фазового пространства. Сечение тора плоскостью ф = сопэ1 показано на рис. 30, заимство-

164 ванном из [177]. Если линеаризовать возмущенную систему около цикла и привести ее к системе с постоянными коэффициентами (согласно теории Флоке—Ляпунова), то неустойчивый цикл превратится в седло, а устойчивый цикл — в узел. Инвариантный тор составлен из соединенных в узлах выходящих усов седел. Ясно, что при малом изменении е такая картина сохраняется. Но в узле все кривые на рис. 30 кроме четырех, которые мы назовем главными, имеют, как правило, конечное число производных. Это следует уже из линейной теории: в главных осях фазовые кривые имеют вид у= |аг|х,'х*, где Xi и Яг—собственные значения приведенной линеаризованной системы, Xi характеризует скорость притяжения тором траекторий из объемлющего пространства, X2 — скорость сближения траекторий на торе. Поскольку сечения выходящих усов седел не обязаны быть одновременно главными кривыми узлов, то тор имеет конечную гладкость. Впрочем, эта гладкость очень велика и быстро растет с ростом е, так как Х|/Х2>с 'ехр(с _?)(это
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed