Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 5

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 117 >> Следующая


14 Введем в E3 «неподвижную» систему отсчета: зафиксируем точку об?3 и выберем три взаимно перпендикулярные оси. Каждое преобразование из группы Галилея переводит эту систему отсчета в другую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно относительно первой. Такие системы отсчета называются инерциальными.

Действие группы Галилея на E3XR можно продолжить до действия на EsX ... XE3XR: если g : (s, О. то g(s,,...

...,Sn, 0 = (Si',..., Sn', П.

Принцип относительности утверждает, что уравнения Ньютона инвариантны относительно группы преобразований Галилея в инерциальной системе отсчета.

Этот принцип налагает ряд условий на вид правой части уравнения Ньютона, записанного в инерциальной системе координат. Так как среди галилеевых преобразований есть сдвиги оси времени, то силы не зависят от /:

то,гг = F1 (г, г), 1 -< і < п.

Силы, зависящие от времени, могут появляться в ньютоновской механике лишь в упрощенных моделях движения.

Среди преобразований Галилея есть сдвиги в трехмерном пространстве Ei. Из однородности E3 вытекает, что в инерци-альных системах отсчета силы завиелт лишь от относительных координат г*—Г/. Из инвариантности уравнений Ньютона относительно подгруппы равномерных движений g\ следует, что силы зависят также лишь от относительных скоростей точек:

mlr, = Fl(ril — r,, г*—г,); /', к, 1=\,...,п.

Изотропность E3 (инсариантн^сть относительно подгруппы вращений g3) влечет соотношение

F (О г, О г) = G F (г, г).

Если механическая система состоит всего из одной точки, то относительно любой инерциальной системы координат она движется равномерно и прямолинейно '>. Дєйстеитєльно, в этом случае сила F не зависит от t, г, г и инвариантна относительно поворотов. Следовательно, F=0.

Если система состоит из двух точек, то приложенные к точкам силы Fі и Fi направлены по прямой, их соединяющей. Более того, согласно принципу равенства действия и противодействия считается, что Fi=—F2. Этот принцип, независимый от принципа относительности, приводит к общему понятию сил взаимодействия и замкнутой механической системы. Система п материальных точек (r„mf), на которые действуют

силы Fi, называется замкнутой, если

'> Это —закон инерции Галилея — Ньютона.

15 Fi — ^Fij, Fki = — FlIf

І* І Kj<n

Вектор Fij называется силой, с которой /-ая точка действует на і'-ую. Важным примером взаимодействия является всемирное притяжение.

Отметим, что если система состоит из трех материальных точек, то из принципа относительности вытекает, что приложенные к точкам силы лежат в плоскости этих точек.

Среди законов движения, приведенных в п. 1.2 в качестве примеров, галилеево инвариантным является лишь всемирное притяжение. Если, однако, в системе гравптирующих точек масса одной из них исчезающе мала (скажем, пылинка в Солнечной системе), то ее влиянием на движение остальных точек можно пренебречь. Полученная таким путем «ограниченная» задача (имеющая важные применения в астрономии) уже не удовлетворяет принципу относительности Галилея. Все встречающиеся в механике Ньютона законы движения, которые не являются галилеево икпарпантными, получены из инвариантных законов движения с помощью подобных упрощающих предположений.

1.4. Основные динамические величины. Законы сохранения. В динамике важную роль играют следующие характеристики движения:

P = mv —импульс точки,

k = г Xр = m{r Xv)-момент, импульса (кинетический момент),

M = г X F — момент силы,

T = -^---кинетическая энергия,

I = тг2—момент инерции.

Если система состоит из нескольких точек, то соответствующие динамические величины являются аддитивными функциями.

Предложение 2. Пусть P = Ipi и F = 4LF1. Тогда P=F. Точка

fc_ Т.т,Гі

называется центром масс. Легко видеть, что положение центра масс не зависит от выбора начала отсчета.

Следствие. Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прл іотіиеііно: ^1 = On.

Предложение 3. Пусть K = Zki = ZmirlXvl и M---Zrr-\F,. Ts г да K = M.

• l-'io \ I і. : in- ы ч-'имо II:M:i.IOV

16 Следствие 1. Если система замкнута, то /(=Const1'. Сила, действующая на материальную точку, называется центральной, если ее линия действия все время проходит через точку об?3.

Следствие 2. Движение под действием центральной силы происходит в плоскости, проходящей через о.

Предложение 4. Пусть T=JlTniVi2/2. Тогда T=ZiFit о,}. Силы F«(rb...,rn) называются потенциальными, если 1-форма

R

2 < Ft (г), drt),

1-і

называемая работой сил Ft на перемещениях drit точна, т. е* ЯВЛЯетСЯ Дифференциалом Некоторой фуНКЦИИ V (rit ..гп), определенной всюду на

E3n \А=E3n\ \j {г t=г,}.

Функция V называется силовой2), а функция U=-V— потенциальной энергией (потенциалом) системы точек.

Следствие 1. Если силы потенциальны, то иа каждом движении полная энергия T+U=const3'.

Наличие законов сохранения импульса, кинетического момента и полной энергии замкнутой системы материальных точек связано с инвариантностью уравнений Ньютона относительно группы преобразований Галилея.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed