Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 4

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 117 >> Следующая


A= U {*, = *;}•

Kj

Пусть (гц ..., г„) = ге/?3я —радиус-векторы точек s1, ..., Sn.-Движение свободной системы задается гладкими вектор-функциями г (<) = (г, (<),..., rn(t)). Аналогично определяется скорость

® = г = (г,.....г„) = К ...,Об/?3"

и ускорение

а = г = (г„ ..., г„) = {ау, ..., an)eR3n.

Множество E3nXR3n{v} называется пространством состояний, а пара (s, и) —состоянием системы.

1.2. Принцип детерминированности Ньютона—Лапласа. Этот принцип утверждает, что состояние системы в любой фиксированный момент времени однозначно определяет все ее движе ние (как будущее, так и прошлое).

Пусть в момент времени t0 известно состояние системь (г0, V0). Тогда, согласно принципу детерминированности, извест но движение г (/)> <бАс:/?; r(t0) = r0, г (t0) = r0 = v0. МожН' вычислить, в частности,, ускорение г в момент времени t = t0r Тогда r{tQ) = f(ta,r0,rQ), где / — некоторая функция, сущест вование которой вытекает из принципа Ньютона — Лаплас* Поскольку момент времени tо можно выбрать произвольнс то для всех t будем иметь уравнение

r = /(f, г, г).

Это дифференциальное уравнение называется уравнение

'» Все функции, встречающийся в динамике, мы считаем гладкими.

12 движения или уравнфием Ньютона. Наличие уравнения Ньютона (с гладкой вектор-функцией /: R{t}xR3n{r}xR3n{r}-*-R3n) эквивалентно принципу детерминированности. Это — следствие теоремы существования и единственности из теории дифференциальных уравнений. Функция f в уравнениях Ньютона определяется обычно из экспериментов. Ее задание входит в определение механической системы.

Приведем примеры уравнений Ньютона, а) Уравнение падения точки в пустоте около поверхности Земли (полученное экспериментально Галилеем (G. Galilei)) имеет следующий вид: г=—gez, где g«9,8 м/сек2 (ускорение свободного падения), ez — единичный вектор вертикали. Траекторией падающей точки является парабола. Д

в) Гук (R. Hooke) показал, что уравнение малых колебаний тела, закрепленного на конце упругой пружины, имеет вид х = = —ах, а>0. Постоянный коэффициент а зависит от выбора тела и пружины. Эта механическая система называется гармоническим осциллятором. А

Ji

^mmsm—т

Рис. 2. Гармонический осциллятор

Оказалось, что в экспериментах удобнее определять не ускорение f, стоящее в правой части уравнений Ньютона, а произведение mf-—F, где пг — некоторое положительное число, называемое массой точки (раскрытие физического смысла понятия массы не входит в задачу динамики). Так, например, в экспериментах Гука постоянная та = с зависит от свойства упругой пружины, но не от выбора тела. Она называется коэффициентом упругости.

Пара (s, т) (или (г, т), где г — радиус-вектор точки s) называется материальной точкой массы m. В дальнейшем мы будем часто обозначать точку s и ее массу m одной и той же буквой т. Если система материальных точек состоит из п точек с массами гп\,..., т„, то уравнения Ньютона

г і = f At, rlt ..., rn, fi.....гп), 1 <і<я,

можно переписать так:

mfi = F1 (t, г, г), 1 < і < п.

Вектор Fi = mtfi называется силой, действующей на точку т„ «Слово сила не входит в основные законы динамики, которые мы только что указали. В действительности, можно обой-

13 тись и без него»'). Эти уравненияоудем также называть уравнениями Ньютона.

c) Как установил Ньютон (I. Newton), если в пространстве есть п материальных точек (r„ Ot1), ..., (г„, тп), то на /-ук>

точку действует сила Fl=^iFijf где

Fki = v^ rkl, rkt = n — rk, y = Const >0.

Это — закон всемирного притяжения. Д

d) При быстром движении тела в воздухе сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости (закон Стокса). Уравнение падения тела в воздухе имеет, таким образом, следующий вид: m 'z = mg —CZ2, с>0. Оказывается, всегда существует Iinru(^)r

t-? OO

равный У mgic и не зависящий от начального состояния. Д

Принцип детерминированности имеет место и в релятивистской механике. Классическую механику Ньютона отличает от релятивистской механики принцип относительности Галилея.

1.3. Принцип относительности. Прямое произведение E3X XR{t} (пространство-время) имеет естественную структуру аффинного пространства. Группой Галилея называется группа всех аффинных преобразований E3XR, которые сохраняют промежутки времени и при фиксированных t?R являются изомет-риями E3. Таким образом, если g : (s, t)->-{s', t') — преобразование Галилея, то

1) ta-t^ta-tf,

2) если ta = tri то Is0-Sp|Нsa — SpI-

Группа Галилея, очевидно, действует в /?3 {г} X/?{<}. Приведем три примера галилеевых преобразований этого пространства. Во-первых, равномерное движение со скоростью v:

gi (г, t) = (r + vt, t). Далее, сдвиг начала отсчета в пространстве-времени:

g2(r, t) = (r + x, t-f-a). Наконец, поворот осей координат:

gz(r,t) = (G r,t), где G : R3-*-R3 — ортогональное преобразование.

Предложение 1. Каждое галилеево преобразование g : R3XR-*-R3XR можно представить единственным способом в виде произведения g\glgi.

1! Аппель (Р. Е. Appell) [2! I ( стр. 89). Во времена Ньютона «силой» (лат. vis) назывались многие объекты, например, ускорение точки. Произведение массы точки на квадрат ее скорости Лейбниц (G. W. Leibnitz) назвал vis viva (жиззя сила). Современный термин «сила» соответствует vis motrix (ускоряющая сила) \ Ньютона.
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed