Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
(зі)
S S
Это уравнение вместе с уравнениями связей (29) составляют «замкнутую» систему для нахождения решений задачи Лаг-ранжа. Уравнение (31) можно получить методом множителей Лагранжа. Вводя новый лагранжиан i? = Z,—2X.f, и считая Xi.....Xm дополнительными координатами, сведем задачу Лагранжа к вариационной задаче без ограничений. Если в новой задаче не принимать во внимание уравнения связей, то уравнения Эйлера—Лагранжа будут иметь вид
Первое уравнение совпадает с уравнением (31), а второе —с уравнениями (29). Строгое доказательство теоремы 8 основывается на применении леммы 4 (см. [141]).
Замечание. Теорема 8 не справедлива для «классического» варианта задачи Лагранжа, когда вариации а (и) при всех значениях и точно удовлетворяют уравнениям связей. В этом случае уравнениями экстремалей являются уравнения (31) с «подправленной» функцией Лагранжа S = hsL-I1XJ,, где Xo — некоторая постоянная (которая может быть и нулем), причем среди множителей Xo, Xi,..., Xm не все обращаются в нуль. В примере 8 постоянная Xo как раз равна нулю.
4.2. Вакономная механика. Принцип Даламбера—Лагранжа не является единственным рациональным определением движения лагранжевых систем со связями. Мы можем заме-
45 нить его принципом Гамильтона; тогда движения системы со связями будут условными экстремалями вариационной задачи Лагранжа (в смысле определений п. 4.1). Уравнениями движения будут уравнения (29) и (31). Математическую модель движения лагранжевых систем со связями, основанную на таком расширении принципа Гамильтона, назовем для краткости ва-кономной механикой.1» Обсуждение целесообразности рассмотрения этой модели мы отложим до § 5.
Уравнения Лагранжа (31) вакономной механики отличаются от неголономных уравнений
/г = ...-/«=0 (32)
S
слагаемым 2 Xi [Д]. Если эта сумма тождественно равна нулю
S
(в силу системы (29) и (31)), то уравнения (31) и (32) совпадают. Пусть, в частности, система подчинена набору интегрируемых связей gs(q, t) — 0 (1 <s<т.). Эти уравнения можно заменить на эквивалентные: gf=0. Так как [ga]==0, то в случае интегрируемых связей вакономная механика сводится к обычной голономной механике. Отметим, что, в отличие от неголономной механики, движение вакономной лагранжевой системы определяется ограничением лагранжиана на подмногообразие в TM, высекаемое уравнениями связей (29).
Уравнения Лагранжа (29), (31) можно представить в га-мильтоновой форме. Для этого введем канонические импульсы
р=<?: =L-+ JlKf^ (зз)
где lKs-пока неопределенные множители. Добавим к этим соотношениям уравнения связи (29) и разрешим систему (29), (33) относительно q и X. Условием локальной разрешимости является неравенство
А f\q---fmi
(/;¦• )*
0
где А = \\&'г \\, (/,•)* — это ковекторы f's'q, записанные в виде строки. Если матрица А невырождена, то неравенство (34)
'> Вакономная механика развита в работе [83]. Следует отметить, что уравнение (31) встречается в работах Герца, Гё.тьдера, Г. К- Суслова и др. авторов в связки с анализом применимости принципа стационарности действия (в духе задачи Лагранжа) в неголономной механике (см. [10]). Оказалось, что когда связи неинтегрирувмьг, то принципы Даламбера—Лагранжа и Гамильтона не эквивалентны.
46 можно представить в следующем виде:
detIKZii ^"'/^)11^0. Если, в частности, связи линейны по скоростям, то Syq =Luqq и условие (34) переходит в неравенство (13), которое гарантирует детерминированное поведение лагранжевой системы со связями, подчиняющейся принципу Даламбера—Лагранжа (см. § 2).
Итак, если выполнено (34), то по теореме о неявной функции д=д'(р, д, t), к=Х(р, д, і). Введем по обычному правилу функцию Гамильтона
Н{р, Я> t)=p.q(p, q, t)—L(q(p, q, t), q, t).
Предложение 13. Гладкий путь q : &-+М является движением вакономной системы с лагранжианом L и со связями Z1= ... =fm—0 в том и только том случае, если функция <?(•) вместе с некоторой «сопряженной» функцией р(-) удовлетворяют уравнениям Гамильтона
q=Hfpt P--Hq. (3.?
Функция Гамильтона H вырождена по импульсам: ранг гессиана Н'рр падает на т единиц. В натуральном случае (когда лагранжиан является положительно определенной квадратичной формой по скоростям) отображение p*+q, определяемое уравнениями (29) и (33), является вырожденным линейным отображением. Поскольку всякое конечномерное линейное пространство канонически отождествляется с его вторым сопряженным пространством, то уравнения (35) можно трактовать как уравнения Гамильтона на Т*М.
Пример 8. Рассмотрим конёк на наклонной плоскости (см. пример 6 из § 2). Функция Лагранжа этой системы І=(х2+ї/1+Ч'2)і2+х, а уравнение связи—(л's in ф —г/cos ф)=0. Канонические импульсы вводятся по формулам
Px = X-A,sin<P, Py=t/+A,cos<P, р„=Ф;
X=Py cos ф—рх sin ф. (36)
Функция Гамильтона
tt=il(AcCos?+/>ysin<t)2+p2J-x. (37)
Пусть в начальный момент угол Ф и импульс ру равны нулю-Так как ру — первый интеграл уравнений Гамильтона, то ру=0. Следовательно, в этом случае гамильтониан принимает совсем простой еид:
