Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
і
t = $\%/vl0dt.
St
¦> Исторически «принцип Мопертюи» (предложение 12) предшествовал более простому принципу стационарности действия Гамильтона. «Фактическое содержание этого «принципа» не было совсем ясным Мопертюи. Точная1 формулировка, приведенная в тексте, принадлежит Якобн и его предшественникам Эйлеру и Лагранжу» ([42|).
42 Тогда, очевидно, гладкий путь je (s (*)):[<lf ^1-^42 удовлетворяет уравнению L2=L0. Из формулы для бF* вытекает, что
6F=0. i>
Определим внутри области В риманову метрику < , >, положив < X, X ) *=4V (х) L2(x), xGTВ. Эта метрика называется метрикой Мопертюи. Для натуральных систем, когда I1=O1 предложение 12 означает, что в области В\2 траектории движения с нулевой полной энергией совпадают с геодезическими линиями метрики Мопертюи.
Когда Л>Л, область В совпадает с M и (В, <, >) — обычное риманово многообразие. Это замечание позволяет применить топологические теоремы на римановых многообразиях к изучению механических задач. Так, например, рассмотрим тор T2 с некоторой римановой метрикой. Среди всех замкнутых кривых на Р, делающих т оборотов по параллели и л по меридиану, существует кривая минимальной длины. Эта кривая — замкнутая геодезическая. С другой стороны, тор T2 является пространством положений плоского двойного маятника. Отсюда вытекает, что для любых целых т, п существует периодическое движение двойного маятника, при котором одно звено делает т оборотов за время, за которое второе звеню делает я оборотов. Более того, такие периодические движения существуют при любом достаточно большом значении постоянной энергии. С вариационной теорией замкнутых геодезических можно познакомиться по книгам [161], [173].
Если Л<А, то граница Z области В ие пуста и метрика Мопертюи имеет особенность: длины кривых, лежащих иа 2, равны нулю. В этом случае геометрия области возможности движения не похожа иа привычную риманову геометрию замкнутых многообразий (см. [78]). Вопросы существования замкнутых траекторий при Л<А рассмотрены в работах [54],
В пункте 2.5 были рассмотрены лагранжевы системы со связями, движение которых подчиняется классическому принципу Даламбера—Лагранжа (эквивалентному принципам Гаусса и
Рис. 5. Периодические колебания двойного маятника
[56], [193].
§ 4. Вакономная механика
3-1
43 Гёльдера). В этом параграфе мы укажем другую математическую модель движения систем оо связями, основанную на некотором естественном обобщении принципа Гамильтона стационарности действия; эта модель названа нами вакономной механикой. В случае вполне интегрируемых связей вакономная механика оказывается тождественной обычной механике голоном-ных систем. Если же связи неинтегрируемы, то принципы Даламбера—Лагранжа и Гамильтона, будучи примененными к одной и той же лагранжевой системе, дают различные уравнения движения.
4.І. Задача Лагранжа. Пусть Af-гладкое многообразие и L-TM XR -+R—гладкая функция. Пусть fs-.TMxR-*R (1 <s<т.)—набор гладких функций с линейно независимыми ковекторами /,j, ..., fm-q- Задачей Лагранжа называется вариационная задача о стационарном значении функционала действие
и
F = J Ldt t,
в классе кривых с закрепленными концами, удовлетворяющих уравнениям
/,= ... =/т=0. (29)
В отличие от вариаций в принципе Гёльдера (см. п. 2.5), вариации допустимых путей в задаче Лагранжа должны снова удовлетворять уравнениям (29). Однако при буквальном понимании этого высказывания может возникнуть ряд серьезных затруднений.
Пример 7. (Каратеодори (С. Caratheodory)). Зададим связь уравнением
^2= /!+!Г2. (JC1. X2KR2- (30)
Если зафиксировать значения координат (*i, х2) =х в момент t\, то гладкая кривая х : [fi, , удовлетворяющая (30), од-
нозначно определится своей проекцией JCi(-). При этом разность значений X2 — координаты в концах кривой х(-) совпадает с длиной JCi-проекции. Если, в частности, х\ — линейная функция времени, то допустимая кривая *(•) обладает тем свойством, что ее конец X (t2) нельзя соединить с точкой X (/і) никакой другой допустимой кривой. Д
Эту трудность, связанную с «жесткостью» связей, можно обойти, если слегка изменить определение вариаций.
Определение. Вариацией допустимого пути w:[flt /2]->А1 назовем гладкое семейство путей a(u):\tx, t2]->M, «Є( —є, є) такое, что
1) о (О)=©,
44 2) значения о (и, tt) ие зависят от и,
3) пути а (и, t) удовлетворяют уравнениям (29) с точностью до о (и).
Лемма 4. Гладкое векторное поле W(t) вдоль допустимого пути со является векторным полем вариации тогда и только тогда, когда
1) W(t,)=0, W(t2) =О,
2) (asAV)'=bs-W при всех tx<t<t2-, здесь as=f L bs~*
-[Лік
«і
Следствие. ^bt-W dt =Q <s</re). <t
Вариация действия F определяется обычным образом:
а^иг)-'f^00M , U-=A^M .
v ' du |u—о du )u-o
Критерий стационарности действия дает
Теорема 8. Допустимый путь to: [<ь t^-t-M является условной экстремалью действия в том и только том случае, когда существуют т. гладких функций X,: [<ь t2]-*-R таких, что вдоль пути (о выполняется равенство
