Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
В гидромеханике важную роль играет течение с функцие тока
Y = -^rIn г, г = V(X-X0)2 Jr (у ^ у0)2. Этой функции соответствует поле скоростей-
v = .r-f У-!'« * —
2л г\ г ' г г
В этом случае говорят, что течение порождает вихрь тенсивности Г, расположенный в точке (*0, Уо)- Легко пор что интенсивность вихря равна интегралу
у adx + bdy,
взятому по любой окружности с центром в точке (лго, i/o)-
Если на плоскости заданы п точечных вихрей с интенснвнг стямн Г. и координатами (*„ у,), то естественно рассмотрет
36 функцию тока
я
4 = - ~ 2 пГ* 1 У(х-хл? + {ц-у#.
Движение частицы жидкости с координатами х, у описывается уравнением (20). Согласно теореме Томсона (см. п. 3.7), вихри «вморожены» в идеальную жидкость и их интенсивности не меняются со временем. Следовательно", динамику самих вихрей естественно описать системой дифференциальных уравнений
^ = У* =
ду/ ** dxs'
* - —Ti 2 Г*,n V(xa-xk?+{y,-yk?. (21)
Если ввести функцию H с помощью равенства 1
2л
r.r.inW,-^)2 + ^-^)2.
го уравнения (21) системы точечных вихрей можно записать в форме уравнений
TsXs=Hys, Tsys= — Hxs (1<5<п).
Эти уравнения гамильтоновы. Симплектическая структура R2" {х, у) задается скобкой Пуассона
if, о\=У -L 1I
V'ai jbrs[dysdXs dxsdysl
3.5. Действие в фазовом пространстве. Пусть снова M = Г*N и Н:М X Д-*¦/?—гладкая функция Гамильтона. На расширенном фазовом пространстве Af X А корректно определена 1-форма pdq—Hdt- форма «энергии-импульса». Рассмотрим "ладкий путь (о:[0, l]->AfxA» траектория которого в расширенном фазовом пространстве представляется уравнениями p=p(t), 1=q(t), tx^t^t2. Множество всех таких путей обозначим Й. Т1>иацией пути (о (с подвижными концами) назовем отображение (-є, е)->Q такое, что jT) а (0) = (о.
і) Отображение а:(—є, е)Х[0, 1]->МХ А, определенное фор-ИУлой а (и, 5)=а (и) (5), —е<и<е, 0<s<l, является гладкой Функцией переменных и, S.
" Это рассуждение носит эвристический характер.
37 Функционал F-.Q-+R, определенный формулой
Z7(Oi) = J pdq—Hdt, (22)
ш
назовем действием в фазовом пространстве вдоль пути содействие дифференцируемо и его дифференциал (вариацию) можно найти по формуле
§F—dF (а(и)) 1 =
du Iu=O
= {pq' - Ht 01? + J (P'q — q'p — H'-\-t'H) dt. (23)
Здесь штрихом обозначена производная по и при ы = 0.
Множество путей из Q с зафиксированными концами обозначим Й (как в § 2). Ограничение F-.Q-+R тоже дифференцируемо и его вариация определяется формулой (23), в которой первое слагаемое отсутствует.
Теорема 6. Путь о является критической точкой функционала F: Й->-/? тогда и только тогда, когда его траектория является решением уравнений Гамильтона с гамильтонианом Я.
Принцип стационарности Действия в фазовом пространстве принадлежит Пуанкаре ([34], см. также [10]).
На вариационную задачу Пуанкаре можно посмотреть с иной точки зрения. Запишем действие в виде интеграла
і,
F = j (pq—И) dt <i
и будем считать подынтегральное выражение функцией Лагранжа L : TM-*-R. Уравнения Эйлера—Лагранжа вариационной задачи 6^ = 0 будут как раз уравнениями Гамильтона. Действительно,
(Z^)=O = ZZp = ?-//',, Ui y = i>=L'q=-H'q.
Если M — произвольное симплектическое многообразие, то действие (22) определено лишь локально (в пределах одной канонической карты на M). При канонических заменах локальных координат действие F: Й-*-R может изменяться лишь на константу. С этой точки зрения его определение «корректно».
3.6. Интегральные инварианты. Пусть со — гладкий замкну тый путь в расширенном фазовом пространстве. Точки, лежащие на траектории ш, можно рассматривать как начальные условия^ для решений уравнений Гамильтона. Множество всех решений с начальными условиями на ш образуют гладкую поверхность Г в M XА, которая называется трубкой траекторий.
2» U Г
4
Рис. 4. Трубка траекторий
Пусть а(ы), 0<и<1—гладкое семейство замкнутых путей в расширенном фазовом пространстве, лежащих на Г и а(0)=(о. Теорема 7. Значения интеграла
§ pdq-Hdt (24)
<X(U)
не зависят от и.
Интеграл (24) называется интегральным инвариантом Пуанкаре— Картана [34], [23].
<] Пусть S mod 1— угловая переменная, параметризующая замкнутые пути а. Рассмотрим действие
F (Y(S))=J Pdq-Hdt
вдоль путей на поверхности Г, которые являются решениями уравнений Гамильтона и которые начинаются в точках а (0) =*<¦>, а заканчиваются в точках а (и). По формуле первой вариации
dF(vjs)) і _дд „dt\I« ~~ds--5s j|o"
Интегрируя это равенство по s, получим і
Wl-Hdt)-§ (pdq-Hdt)=0. >
0 CC(U) а(0)
Следствие 1. Пусть g'—фазовый поток уравнения Гамильтона и у—замкнутый контур в фазовом пространстве M Значения интеграла
§pdq (25)
Л
не зависят от t.
Следствие 2. Отображение g': М-*-М при всех t является каноническим.
Интегралу (25) можно придать смысл и в том случае, когда
39 симплектическая структура <о2 не точна (т. е. 1-форма не определена однозначно на всем М). Действительно, по формуле Стокса
§pdq= ^dpAdq = ^u2,
Y о 1O
