Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 10. Для любой функции S(x, q), удовлетворяющей неравенству (17), существует каноническая заме-
3-1 33 иа переменных х=х(р, q), у=у(р, q) такая, что det||d*/dpH=^O и 5 — ее производящая функция.
Отметим, что не все канонические замены переменных удовлетворяют условию (16). Вот простой пример: x=q, у=—р. В этом случае метод производящих функций можно слегка видоизменить. Пусть, например, отличен от нуля якобиан det||dt//d/?||=5?0. Такие канонические преобразования называют свободными. Производящей функцией служит функция S.(у, q)=F(p(y, q),q): формулы
P=S' , x=—S'
задают свободное каноническое преобразование. Для свободных канонических - преобразований снова справедливо предложение 10. Эти замечания можно обобщить.
Предложение 11. Пусть g — каноническое преобразование, заданное 2п функциями х=х(р, q), у=у(р, q). За локальные независимые координаты всегда можно принять один из 2" наборов функций (*,, у}, q), Ш, /6(1, 2,..., п}\1,
у}) , п д (PbPi)
При этом преобразование g локально восстанавливается по производящей функции
S Ур Я)=2 хіУі +1 (pdq—xdy)
с помощью соотношений
_ oS J_ oS _ oS P dq~' xJ 1yJ~'
3.3. Симплектическая структура кокасательного расслоения.
Пусть Nn — гладкое многообразие и TfN — кокасательное пространство к N в точке q, состоящее из всех 1-форм на касательном пространстве TqN. Объединение UAWf,*/V=M имеет естественную структуру гладкого многообразия размерности 2п. Оно называется пространством кокасательного расслоения N и обозначается T*N. Если q=(q\..... </„) —локальные координаты на N, то любая 1-форма задается своими п компонентами р=(р і,..., Pn) в базисе dqu..., dqn. Наборы чисел pi,... • • •. Pn, q\, ¦ ¦¦, q* являются локальными координатами на Af.
Симплектическая структура кокасательного расслоения T*N определяется исключительно гладкой структурой многообразия N. Вначале мы определим замечательную 1-форму (о1 = =p-dq — значение ковектора p?T„*N на касательном векторе qZTqN. В координатах ри q, (І^і^я) эта форма имеет вид IlPidqi. Симплектическая структура на M задается 2-формой <i)2=d(o', которая замкнута и невырождена.
С помощью этой симплектической структуры уравнения Лаг-
34 ранжа, определенные на TN, можно представить в виде уравнений Гамильтона на Т*N. Сначала мы рассмотрим этот вот ' прос с локальной точки зрения. Пусть L(q, q, t) —функция Лагранжа такая, что
det IIiUl''0-
Положим p=L'. и будем считать р элементом сопряженного пространства TmqN. Это уравнение локально можно разрешить относительно скорости q. Введем функцию
q, t)-p-q—L\-~t
которую будем называть «локальным» гамильтонианом. При фиксированных <7 и t функция H (р) является преобразованием Лежандра (А. М. Legendre) функции L (<7)'>. Легко проверить, что detIlН'ррH^=O и q=H'p, L(q)=q-p—HТаким образом, преобразование Лежандра инволютивно.
Теорема 5. Пусть q(t)—решение уравнения Лагранжа [?],(<) =0. Тогда функции q(t) и p(t)=L\ | ^ удовлетворяют уравнениям Гамильтона p = —H'q, q=H'p.
Использование импульсов вместо скоростей встречается впервые в работах Лагранжа и Пуассона.
Для того, чтобц перейти к уравнениям Гамильтона в целом, будем предполагать, что гладкая функция L:TNXR-*-R выпукла по скоростям, т. е. матрица положительно определена
при всех q, q и t. Определим «глобальный» гамильтониан формулой
H(p,q,t) = s\}$(p-q—L(q,q,t)). (18)
і
Если в окрестности точки q=0 лагранжиан L удовлетворяет дополнительному условию L(q, q, t)>\q\2, где | • |—некоторая риманова метрика на N, то. локальный гамильтониан определен при всех р и всюду совпадает с глобальным. Следовательно, H — гладкая функция на MxR. Она выпукла по р и при этом
L(q, q, t)=sup(q-p — H (р, q, t)). (19)
p
Из формул (18)-(19) вытекает неравенство выпуклости p-q<H(p)+L(q).
Применим эти соображения к натуральным механическим системам. Пусть I • I — риманова метрика на пространстве положе-
>> «Преобразование Лежандра» имеется уже у Эйлера.
5-2 35 ний N. Функция Лагранжа L=T-U, где T = | q | 2/2 — кинетическая энергия, a Lf (q)—потенциальная энергия системы. Если \q\2 = A(q)'q-q, то p = Aq и, следовательно,
H{p,q)=T-U\^p={\p\* + U,
где I pl2=s А-*р'р. Функция H совпадает с полной энергией системы. В более общем случае функция Лагранжа содержит линейные члены:
где -о —гладкое векторное поле на N. Тогда
H = j\p\2-p-v(q) + ^\v(q)\2 + U(q).
3.4. Задача п точечных вихрей. Не следует думать, ч. уравнения Гамильтона появляются в механике лишь в результате применения к уравнениям Лагранжа преобразования Лежандра. Рассмотрим плоское стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Пусть v=(a(x, у), Ь(х, у))— поле скоростей ее частиц в декартовых координатах х, у. Из условия несжимаемости div t/ = 0 следует, что 1-форма ady—bdx является дифференциалом некоторой функции lIr(х, у). Уравнение движения частицы жидкости можно представить тогда в виде уравнения Гамильтона
і = 4% у = —Wx (20
с гамильтонианом Поскольку на линиях тока—траекториях частиц — функция Mr=Const1 то xF называется функцией тока.
