Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Гамильтонова механика
3.1. Симплектическая структура и уравнения Гамильтона.
Пусть Af2n— гладкое четномерное многообразие. Существует несколько эквивалентных способов введения на Af симплек-тической структуры. Перечислим наиболее известные.
а) Симплектической структурой на M называется замкнутая невырожденная 2-форма со2. Согласно теореме Дарбу (J. G. Darboux), в малой окрестности каждой точки на Af в подходящих локальных координатах р\.....рп, qь • • •, q» симплектическая структура со2 приводится к «каноническому» виду
п
2 dpi/\dqi.
і—1
Локальные координаты р, q называются обычно симплекти-ческими или каноническими.
Форма (о2 позволяет построить естественный изоморфизм касательного TxM и кокасательного ТХ*М пространств: вектору I^TaM ставится в соответствие 1-форма щ1?Тх*М по правилу ©і1 (л) =(d2(tj, ?), ті67УІ4. В силу билинейности и невырожденности 2-формы со2, соответствие It- O51 действительно является линейным изоморфизмом. Пусть / : Тх*М-*-Т^/1 — обратное отображение. Пусть H — гладкая функция на Af (возможно, зависящая от времени). Поскольку дифференциал dH является ковектором, то IdH — гладкое векторное поле на М. Оно называется гамильтоновым. Соответствующее дифференциальное уравнение
X=JdH(X) (15)
называется уравнением Гамильтона.
Если FnG- гладкие функции на М, то корректно определена гладкая функция or (IdG, IdF), которая называется скобкой Пуассона функций FaG. Обозначим ее {F, G}. Скобка Пуассона обладает следующими свойствами:
1) билинейность,
2) кососимметричность,
3) [Fu-Fi, G} =Fi[F2, G}+F2{Fu G} (правило Лейбница),
4) {{#, F}, G} + {{F, G), Н) + {{G, Н), F}sseO (тождество Якоби),
5) невырожденность (если точка х?М не является критической для F, то существует такая гладкая функция G, что {F, 0}(х)Ф 0).
31 В локальных симплектических координатах р, q
{F, G}=2(GPiF?/-G,tFPi). i-i
Скобку Пуассона {F, G} можно вычислять по формуле dF(IdG)—значение ковектора dF на векторе IdG. Следова* тельно, производная функции F вдоль гамильтонова векторного поля IdH равна как раз {F, Н). Таким образом, уравнение Гамильтона (15) можно переписать в эквивалентной форме F=* = {F, Н). Поскольку координатные функции р\,..., рп, qі,... ..., qn образуют «полный» набор независимых функций, то уравнения
Pi = iPi. Н}* qt = {qit H^pl=-Hqi, (Ji = Hpl(\<i<n)
замкнуты. Они называются каноническими уравнениями Гамильтона.
в) По Дираку (P. Dirac), многообразие M снабжено симп-лектической структурой, если задано отображение {,}: : С" (M) X С" (M) (M), удовлетворяющее условиям 1— 5 предыдущего пункта.
Пусть F — гладкая функция на М. Из условий 1 и 3 следует, что Vf= {F, ¦} является дифференцированием, т. е. касательным вектором к М. Все касательные векторы можно представить в таком виде. Пусть G — еще одна гладкая функция и va= {G, ^—соответствующий касательный вектор. Определим 2-форму со2 по формуле
со2(v0, vf) = {F, G).
Эта форма, очевидно, билинейна, кососимметрична и невырождена. Последнее вытекает из условия невырожденности скобки Пуассона. Из тождества Якоби можно вывести, что о2 замкнута. Таким образом, определение симплектической структуры по Дираку эквивалентно определению пункта а).
с) Наконец, согласно «классическому» подходу, симплектическая структура на M вводится с помощью симплектического атласа — набора согласованных друг с другом карт, причем переход от карты к карте является каноническим преобразованием.
Пусть Р, Q и р, q — локальные координаты на М. Преобразование р, q>-*P, Q называется каноническим, если
PdQ-pdq = dS(p, q),
где S — некоторая гладкая функция, которую будем называть первообразной функцией канонического преобразования.
Из определения канонических преобразований следует, что форма u>p,g2 = dp/\dq корректно определена на всем М.
32 Действительно,
(pdq)=d (PdQ - dS)=dP/\dQ - ddS=<o%Q
Укажем критерии каноничности преобразования р, q-* Pt Q. о) Пусть
Q/ Q/
PrP'
"я * P
—матрица Якоби преобразования. Условием каноничности является равенство Т*JT=It где
/-і10
— единичная симплектическая матрица.
Р)
§ PdQ-^pdq
у у
для любого стягиваемого в точку замкнутого контура у.
Y) {F, G}p,q={F, G}p.qt для любых гладких функций FmG Отсюда вытекает, в частности, что канонические преобразования сохраняют канонический вид уравнений Гамильтона. Действительно, Fp.q = Fp,g={Ft H}p,q={F, H}p.q.
3.2. Производящие функции. Пусть g:(p, q)"(x, у)—каноническая замена переменных такая, что
detII^ilIk0- <16>
В этом случае можно (хотя бы локально) разрешить уравнение .к — X (р, q) относительно р и считать х, q независимыми переменными. Тогда
p = p(x,q), y=y(p,q)=y(p(xtq)tq).
Условие каноничности преобразования g
pdq—xdy=dF (р, q)
v-'жно записать в следующем виде:
pdq + ydx=d(F-\-xy)=dS (х, q),
откуда P==Sq', у = Sx'. Из неравенства (16) следует, что
НгаИк* (,7)
Функция S(X, q) называется производящей функцией преобразования g. Например, если g — тождественное преобразование, то S = xq.
