Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3. Отклонение мыслимых движений от освобожденного принимает стационарное значение на действительном движении.
Доказательство основано на применении известного правила множителей Лагранжа.
Обычно матрица А положительно определена (как в натуральных системах). В этом случае из теоремы 3 выводится
Следствие (принцип Гаусса [10]). Среди мыслимых движений действительное менее всего отклоняется от освобожденного движения.
Пример 5. Математический маятник длины I—это тяжелая материальная точка, которая движется без трения по вертикальной окружности радиуса I. Пусть ф —угол отклонения маятника от вертикали (рис. 3). Зафиксируем некоторое со-
28 стояние (Ф, Ф); ускорения мыслимых движений маятника ац расположены на прямой, параллельной его скорости и отстоящей от точки т на расстояние іФ2. Ускорение освобожденного движения совпадает, очевидно, с ускорением свободного падения g. Принуждение Z= т { Ov.-g, Ovt-g ) /2 с точностью до постоянного слагаемого совпадает с функцией т(/ф+?81119)2/2. Условие минимума Z приводит к уравнению колебаний математического маятника: /$-fgsin9=0. д
Рис. 3
Для того, чтобы сформулировать принцип Гёльдера, нам понадобятся некоторые новые определения. Пусть ©ей — гладкий допустимый путь. В линейном пространстве векторных полей вариаций TaQ выделим подпространство Г, состоящее из полей W таких, что при всех t векторы Wt являются всзможны-ми скоростями. Путь «о назовем критической точкой (по Гель-деру) функционала действие F, если ограничение бF на подпространство Г обращается в нуль.
Теорема 4 (принцип Гёльдера [10]). Допустимый путь является движением лагранжевой системы со связями тогда и только тогда, когда ои является критической точкой (по Гёль-деру) функционала действие.
Это утверждение — простое следствие теоремы 2 и принципа Даламбера—Лагранжа.
Лагранжевы системы с линейными связями Герц (Н. Hertz) разделил на голономные и неголономные в зависимости от того, являются ли наложенные на них связи вполне интегрируемыми или нет. Особенно просто определение интегрируемости выглядит в случае однородных связей, не зависящих явно от времени:
аЛчУя= ...=am(q)-q=Q. (14)
Согласно общему определению связей, ковекторы Oi.....Orn
считаются линейно независимыми во всех точках Mn.
Связь (14) называется вполне интегрируемой, если на Mn существует гладкое (п—т)-мерное слоение такое, что его слои (гладкие (п—т) -мерные подмногообразия в М") во всех своих точках касаются плоскостей, определяемых уравнениями
29 (14). Приведем один из вариантов критерия Фробениуса (F. G. Frobenius) полной интегрируемости распределения касательных плоскостей (14): Пусть ср5 =a,-dq —- 1-форма на М", s=I,..., т; связь (14) вполне интегрируема в том и только в том случае, когда 2-формы d<p„ s—l,:..m, обращаются в нуль на пространстве допустимых скоростей.
Пусть q : А-*-Мп — допустимый путь системы с голономны-ми связями. Тогда при всех t€А значения q(t) принадлежат некоторому слою Nn~m. Введем функцию L : TNn~m-*-R, которая является ограничением лагранжиана L на TNn~mczTMn.
Предложение 9. Допустимый путь q:A-+Mn является движением голономной системы (Al", L, S) в том и только том случае, когда путь q:A-*Nn~m, q(t)=sq(t) является движением лагранжеЕой системы (N"~m, L).
Таким образом, голономные системы практически ничем не отличаются от обычных лагранжевых систем без связей.
Следствие. Движение голономной системы определяется ограничением лагранжиана на многообразие SczTM.
В неголономном случае это, конечно, не так.
Наиболее распространенными примерами движения с не-интегрируемыми связями являются скольжение конька по льду и качение шара по шероховатой поверхности. В первом случае скорость точки контакта в направлении, перпендикулярном плоскости конька, равна нулю, во втором — обращается в нуль скорость точки контакта. В заключение приведем два примера «парадоксального» поведения неголономных систем.
Пример 6. Рассмотрим конек на наклонной плоскости с декартовыми координатами je, у\ будем считать ось у горизонтальной, а ось X направленной вниз. Пусть (je, у) — координаты точки контакта «уравновешенного» конька с плоскостью, 9 — его угол поворота, отсчитываемый от оси х. Уравнение неинтегри-руемой связи есть X sin Ф — у cos ф = 0. Выбирая подходящим образом единицы измерения массы, длины и времени, лагранжиан можно представить в следующем виде: JL = (x2-]-y2-\-+ 92)/2+ .я. Соответствующие уравнения Лагранжа со множителем просто интегрируются. Если, например, в начальный момент угол 9 = 0 и конек закручен с угловой скоростью 9 (0) = ш, то
Интересной особенностью этого решения является то обстоятельство, что в средпом конек не соскальзывает с наклонной плоскости: OcC.Yfr) ^ 1/2-)2. Л
Рассмотрим задичу о качении однородного шара внутри вертикально поставленной трубы. Естественно ожидать спи-
:<0 ральный спуск шара по траектории с возрастающей крутизной. Однако в действительности (когда скорость центра шара в начальный момент не вертикальна) шар будет совершать гармонические колебания между двумя фиксированными горизонтальными плоскостями.
