Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
300
УПРАЖНЕНИЯ
параллелизма А относительно точки О есть
a = V2POQ, tg
с) Покажите, что это общая формула в ЗУ.
21. Гиперболическая тригонометрия. Ставится задача доказать* что углы а, Р, у и гиперболические длины сторон а, Ь, с треугольника (ЛВС) в круге Бельтрами ЗУ связаны соотношением
и ему аналогичными.
a) Покажите, что можно свести дело к случаю, когда точка А совпадает с центром ЗУ.
b) Выразите в этом случае ch a, ch Ъ и ehe через н = ||Л?Цг
v = \\AC\\ и w = AB • АС (примените формулу (1) из упр. 17).
c) Получите отсюда соотношения
22. Обобщим модель Бельтрами, заменив единичный круг ЗУ кругом определенным неравенством х2 4- у2 < /?2. Расстояние между точками А, В зададим соотношением
a) Проверьте, что в полученной «метрической плоскости» функция Лобачевского выражается как a = 2 arc tg e~d/R.
b) Как изменятся формулы (1) и (2) из упр. 21?
c) Покажите, что при /?-»• оо расстояние 6(Л,?) между двумя фиксированными точками имеет пределом евклидово расстояние между ними. (Евклидова геометрия становится, таким образом, предельным случаем гиперболической геометрии.)
23. Обозначим через К такое подполе в R, что для любого х^К действительное число \х\х/2 принадлежит К. Покажите, что К X К, снабженное канонической евклидовой структурой, удовлетворяет аксиомам, получаемым из аксиом метрической плоскости (аксиом расстояния, § III. 2) при замене в них R+ на К+. Сохраняется ли такое положение для гиперболической геометрии? (Примените формулы гиперболической тригономет-рии.)
24. Пусть 9> — евклидова плоскость, т. е. «метрическая плоскость», в которой выполняется аксиома Евклида Е\ (см. конец
а) Проверьте, что & является упорядоченной плоскостью аффинного типа (см. § V. 9).
ch а = ch Ъ ch с — sh Ъ sh с cos а
(о
sh а sh Ъ sh с
(2)
sin а sin ? sin у '
§ VI. 9).
УПРАЖНЕНИЯ
301
b) Покажите, что произведение двух центральных симметрий является трансляцией (см. § V. 2). Выведите отсюда, что 9* есть плоскость трансляций (см. определение V. 3.1).
c) Пусть р — проектирование в направлении б ориентированной прямой 9) на другую ориентированную прямую к)\ Покажите, что р — монотонное отображение и что расстояние й(р(А), р(В)) зависит только от расстояния с1(А,В) (где Ау Ве^)). Выведите отсюда, что р — аффинное отображение (идею можно почерпнуть из исследования, проведенного в § V. 9, а затем применить теорему 1.7.8).
б) Покажите, что 9* есть аффинная плоскость над полем Р (теорема Фалеса, установленная в с), позволяет определить произведение вектора на действительное число).
25. Пусть 9* — евклидова плоскость.
a) Установите «признаки подобия треугольников», соответствующие их «признакам равенства» (см. упр. VI. 2).
b) Сравните различные доказательства, которые можно привести для теоремы Пифагора. (Применение ортогонального проектирования, скалярного умножения, признаков подобия прямоугольных треугольников.)
ЛИТЕРАТУРА l)
[AR] Artin E. Alg?bre g?om?trique. Cahiers scientifiques, fase. XXVIII. — Paris: Gauthier-Villars, 1972. [Имеется перевод: Артин Э. Геометрическая алгебра. — М.: Мир, 1976.]
[AZ] Artzy R. Linear geometry. — Addison Wesley, 1965. [BA] Bonola R. Non euclidean geometry. — New York: Dover publications, 1955.
[BE] Berger M. G?om?trie. 5 vol. — Paris: CEDIC, Fernand Nathan, 1977. [Имеется перевод: Берже М. Геометрия. Т. 1, 2. —М.: Мир, 1984.1 TBI—ML] Birkhoff G., Mac Lane S., Alg?bre. 2 vol. Cahiers scientifiques, fase. XXXV et XXXVI. — Paris, Gauthier Villars.
IBK—SZ] Borsuk K., Szmielew W. Foundations of geometry. — Amsterdam; North Holland Publishing company, 1960. [BO 1] Bourbaki N. Alg?bre (Livre II), Chapitre I, V, VI. Actualit?s scientifiques. — Paris: Hermann. [Имеется перевод: Бурбаки Н. Алгебра — М.: Физматгиз, 1962 (гл. I—III), Наука, 1965 (гл. IV—VI).]
{ВО 2] Bourbaki N. Topologie g?n?rale (Livre III), Chapitres III ? VI. Actualit?s scientifiques. — Paris: Hermann. [Имеется перевод: Бурбаки Н. Общая топология — М.: Физматгиз, 1958. (гл. I—III), 1959, гл. IV—VII.] '[BR] Brisac R. Expos? ?l?mentaire des principes de la g?om?trie euclidienne. — Paris: Gauthier-Villars, 1955. [BU] Buseman H. The geometry of geodesics. — New York: Academic Press, 1955. [Имеется перевод: Буземан Г. Геометрия геодезических. — М.: Физматгиз, 1962.]
[BU—КЕ] Buseman H., Kelly P. J. Projective geodesics and projective metrics. — New York: Academic Press, 1953. [Имеется перевод: Буземан Г., Келли П. Проективная геометрия и проективные метрики.—М.: ИЛ, 1957.] [CA] Carrega J. С. Th?orie des corps. La r?gle et le compas.— Actualit?s scientifiques, fasc. 1402. — Paris: Hermann, 1981.
!) Чтобы не дезориентировать читателя, мы даем лишь ограниченную библиографию, отдавая предпочтение литературе на французском языке. Более полная библиография содержится в [ЕУ], [Р1], [БТ].
ЛИТЕРАТУРА
зоа
[CH] Choquet G. L’enseignement de la g?om?trie. — Paris: Hermann, 1964. [Имеется перевод: Шоке Г. Геометрия.— М.: Мир, 1970.1
[СО] Coolidge J. L. The mathematics of great amateurs. — Dover publications.
[CX 1] Coxeter H. S. M. Non euclidean geometry. — Toronto: University of Toronto Press, 1947.
