Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
*) Удобно считать, что путь интегрирования ориентирован так, что у в > у а. — Прим. перев<
12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ' ПУАНКАРЕ) 267
няющая их гиперболическая прямая является евклидовой полуокружностью 2) с диаметром [Р(2], лежащим на х'х. Если мы отождествим Р2 с [О и обозначим через а, Ь, р, «7 аффиксы точек А, В, Р, <2, то полуокружность яЬ допускает параметрическое представление 01—> а + гет (0 < 0 < я) с со = (р + щ)\2 и г — \(р — Ф12\ (рис. 28), откуда
где [а, Ь, р, <7]— двойное отношение а, Ь, р, <7 (см. § IV. 8), которое действительно1) ввиду конциклично-сти точек А, В, Р, С? (упр. IV. 29).
Можно заметить, что формула (2) остается верной и в случае а), если положить р — х0 и <7 = оо. Легко также доказать, что формула (2) равносильна формуле
d [А, В) —2 Arth [а, ?, b, Ь\т = 2 Arth | 1, (2')
Агд (Ь—со)
|[lntg-
Arg (я-со)
И
d(A, ?) = |ln(-|-=y )| = |ln(«> ь> Р>Я) |. (2)
Рис. 28
У
О Р
Q х
*) Легко проверить, что оно положительно.«Прим, перев,
2т
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
где ау Ъ комплексно сопряжены с а, Ь и Arth — функ-
Ция / 7г In ( узу) (Ul< 1).
Автоморфизмы и симметрии ZP
Легко видеть, что если отождествить ZP с множеством {z е CJ Im ,г > 0}, то отображения вида
z *cs^’d 9 (а> ^ с > d) eR4 и ad — Ьс> 0
или
г нн* у , (а, Ь, с, d)<= R4 и ad — bc< 0
являются биекциями ^ на преобразующими каждую гиперболическую прямую в гиперболическую прямую (так как это преобразования С, которые переводят окружность или прямую снова в окружность или прямую и сохраняют ось х'х, а, значит, множество прямых и окружностей, ортогональных х'х). Кроме того, эти преобразования сохраняют двойные отношения или переводят их в комплексно сопряженные. По формулам (2) и (2') они сохраняют гиперболическое расстояние и являются автоморфизмами в смысле определения 2.1. В частности, евклидовы симметрии, ось которых ортогональна х'х (преобразования вида гь—>2х0 — г, где лсо ^ R) и инверсии с положительной степенью, полюс которых принадлежит х'х (вида
2 х0 + — с k > 0), индуцируют инволютив-
Z — Хо
ные автоморфизмы которые мы назовем гиперболическими симметриями; теперь нам остается лишь проверить аксиомы симметрии Va и Vb из § 2.
Предложение 12.1. Для каждой гиперболической прямой 3) существует гиперболическая симметрия, s&, для которой эта прямая 3) есть множество неподвижных точек и которая является единственным нетождественным автоморфизмом оставляющим неподвижными все точки прямой 3).
Доказательство. а) Если 3) лежит на евклидовой прямой, ортогональной х'х, то подходит евклидова симметрия относительно этой прямой. Если 2Ь лежит
12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ) 269
на евклидовой окружности радиуса г с центром в /точке / оси х'Ху то искомую симметрию даст преобразование инверсии с полюсом / и степенью г2.
Ь) Пусть I—автоморфизм 3, оставляющий на месте каждую точку гиперболической прямой 3. Если I Ф то применимое здесь предложение 3.5 показывает, что / не имеет других неподвижных то-цек. С другой стороны, из предыдущего мы видим, что существует автоморфизм Л, такой, что Н (3) располагается на евклидовой прямой А, ортогональной к х'х\
в этом случае § ?= А о / о й"“1 есть автоморфизм с мно^
жеством неподвижных точек /г (3). Если г обозначает аффикс точки М в Зу а г'—аффикс точки ?(М), то по формуле (2')
I г' — а I_I г — а I
| г' — а I | г — а |
для всех а е (Сдля которых точка с аффиксом а принадлежит к(3). Значит, М' расположена симметрично с М относительно евклидовой прямой А, откуда вытекает единственность gy а значит, и /. ?
Предложение 12.2. Существует по меньшей мере одна гиперболическая симметрия, меняющая местами две гиперболические полупрямые с общим началом.
Доказательство. Действуя, как и ранее, мы можем свести дело к случаю, когда одна из гиперболических полупрямых расположена на евклидовой прямой А, ортогональной в Я к х'х\ при этом другая гиперболическая полупрямая будет представлена дугой АР окружности Г с диаметром [Р(2] на оси х'х\ так как Г пересекает А, то Н лежит между Р и ($ (рис. 29).
Если первая полупрямая представлена отрезком [АН] прямой А, то инверсия с полюсом (2 и положительной степенью С}Р-С1Н дает искомую симметрию; если же первая полупрямая представлена евклидовой полупрямой Ауу то искомую симметрию даст инверсия с полюсом Р и положительной степенью РС}-1 •PH. ?
Итак, мы сумели построить «метрическую плоскость» 3, удовлетворяющую пяти группам аксиом
270
ГЛ. УГ. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
из § 2, но не удовлетворяющую аксиоме Евклида о параллельных; этим доказана независимость последней аксиомы и невозможность доказать ее исходя из аксиом метрической плоскости.
Замечание. Можно доказать, что угол между двумя гиперболическими прямыми равен углу между.
представляющими их дугами окружностей евклидовой плоскости. Модель Пуанкаре оказывается, таким образом, конформной, т. е. сохраняющей углы, моделью гиперболической плоскости. Существуют и другие модели этой геометрии, и среди них модель Бельтрами, в которой гиперболические прямые представлены отрезками евклидовых прямых (см. упр. VI. 17). Дальнейшие подробности по гиперболической геометрии, а также изложение сферической или эллиптической геометрии, см. в книге [ВЕ], т. 5.
