Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 77

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 95 >> Следующая

Замечание. Отождествив каждый угол с его ра-дианной мерой, легко убедимся, что существование треугольника с суммой углов, равной л, равносильно существованию выпуклого четырехугольника с суммой углов, равной 2л1). Чтобы доказать, что из аксиомы (Е6) следует аксиома (Е5), достаточно, таким образом, установить
Предложение 11.3. Если существует два неизо-метричных треугольника (ЛВС), (А'В С') с равными углами: А' — А, В' = В, С/ = С, то существует выпуклый четырехугольник, сумма углов которого равна 2л.
Доказательство. Ввиду неизометричности треугольников можно для определенности положить А'В' >
*) Можно также, не используя меры углов, придать соответствующий смысл утверждению: «сумма углов четырехуголь*д пика равна 2со».
264
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
;> А В. Пусть f — та изометрия, которая переводит) Полупрямую (А'В'( в полупрямую (АВ(У а полупрямую (Л'С'(—в полупрямую (АС(. Обозначим В1 =
= /(?'), С\ = /(С') (см. рис. 25). Тогда
*=АВ{С{ и АСВ = АСхВХу откуда следует, что сумма углов выпуклого четырехугольника (ВВуСуС) равна 2л.
Указанная выше эквивалентность аксиом пол^ ностью доказана. ?
Эта эквивалентность не решает, однако, вопроса о независимости пятого постулата Евклида от остальных аксиом. Эта независимость следует из того фак-
та, что можно определить на К2 или на некоторых частях К2 структуру «метрической плоскости», для которой аксиома Евклида не выполняется; такая плоскость называется гиперболической и представляет собой «модель» неевклидовой геометрии. Мы приведем такой пример в § 12.
Более того, свойства метрической плоскости, полученные Бойаи и Лобачевским при отрицании постулата Евклида, позволяют построить биекцию, изометрическую с точностью до постоянного множителя, этой «метрической неевклидовой плоскости» на гиперболическую плоскость. Но связанные с этим вычисления далеко не элементарны и слишком длинны, чтобы их здесь привести; их можно найти в гл. VI в [ВК—$2],
Существование этого изоморфизма легко позволяет построить новые формулировки, равносильные аксиоме Евклида (см. упражнения). Оно показывает, кроме того, что с точностью до гомотетии существуют Лишь две «метрические плоскости»: евклидова и гиперболическая— это итог 25 веков исследований, от Евклида до XIX в.
Рис. 25
12. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ' ПУАНКАРЕ) 265
)2. ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ (МОДЕЛЬ ПУАНКАРЕ)
Назовем гиперболической плоскостью множество &>= {{х,у)(^ К2|у>0}, именуемое также полуплоскостью Пуанкаре; назовем гиперболической прямой любое подмножество в определяемое уравнением вида х = х0 (х0 постоянно) или вида (х — хо)2 + У2 — [= г2 (хо, г постоянны). Гиперболические прямые — ЭТО пересечения С евклидовых Прямых ИЗ К2, ОрТО-тональных оси х'х, и евклидовых окружностей с центрами на х'х (предполагается, что плоскость К2 снабжена канонической евклидовой структурой).
Легко видеть, что пара (2*, 2"), состоящая из гиперболической плоскости 2* и множества гиперболических прямых 2", удовлетворяет аксиомам инцидентности I из § 2. С другой стороны, каждая гиперболическая прямая 3) допускает очевидным образом два естественных взаимно противоположных отношения порядка (см. рис. 26) и разбивает 2>\2> на две области, которые мы можем назвать «полуплоскостями». Если 2) имеет уравнение х = хо, то полуплоскости определяются неравенствами х > х0 и х < х0; если же 3) определяется уравнением (х — х0)2 + у2 = г2, то полуплоскости соответственно задаются неравенствами (х — х0)2 + у2>Г2 и (х — Хо)2 + У2<г2. Кроме того, две точки Л, В принадлежат одной и той же полуплоскости, ограниченной 2), тогда и только тогда, когда соединяющий их отрезок гиперболической прямой не пересекает 2). Отсюда нетрудно вывести, что 2* удовлетворяет аксиоме Паша Пь. Наконец, очевидно, что 2! не удовлетворяет аксиоме Евклида о па-
266
ГЛ. vr. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
раллельных: на рис. 27 изображены две гиперболические прямые 3)\ пересекающиеся в точке Л и не пересекающие гиперболической прямой 2).
Расстояние между двумя точками
Мы определим гиперболическое расстояние между двумя точками А и В плоскости Ф криволинейным интегралом
с1(А,В) — ^-у, где йэ—'у/ йх2 + йу*> (1)
rdy_ \п*&-
J У Уа
взятым по дуге ABf образованной сегментом гиперболической прямой, соединяющей точки Л и В.
Это расстояние очевидным образом удовлетворяет аксиомам Ша, Шь, Шс из § 1. Ясно, что d(A, В) удовлетворяет неравенству
d(Ay ?)>
причем равенство достигается лишь тогда, когда Л и В имеют одинаковые абсциссы. Отсюда видно, что d(Ay В) стремится к +°°> когда ув стремится к О или +°°» и поскольку d(Ay В) — непрерывная функция Ву то отображение М ь->^(Л, М) определяет биекцию каждой из гиперболических полупрямых с началом Л на полупрямую 1?+. Поэтому, гиперболическое расстояние удовлетворяет и аксиоме Ша из § 1.
Формула гиперболического расстояния
а) Если Л, В имеют одну и ту же абсциссу х0, то гиперболическая прямая, которая их соединяет, есть евклидова полупрямая х =* х0, у > 0, и мы имеем
Ув А с dy_ In is.
J У Уа
УА
d(Ay В)
Ь) Если абсциссы точек Л, В различны, то соеди-
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed