Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Согласно следствию из предло* жения 8.2, треугольник имеет не более одного прямого или тупого угла. Поэтому мы можем считать,
что углы ЛВС и АСВ треугольника (АВС) острые. Тогда основание Н перпендикуляра, проведенного к прямой (ВС) через Л, принадлежит отрезку [ВС\
(см. рис. 19) и АВС + ВСА + САВ = АВН + ВАН
(260
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Одно свойство прямоугольников
Предложение 10.5. Если (ЛВСВ)—прямоугольник (т. е. четырехугольник с четырьмя прямыми углами), то прямая (АО) является единственной прямой, проходящей через Л и не пересекающей прямой (ВС).
Доказательство. Допустим, что существует прямая проходящая через Л, отличная от прямой (АО) и не пересекающая прямой (ВС), и пусть С', В' симметричны С, О относительно прямой (ЛВ) (рис. 20).
я'
"V
> г
г\ , г
Н(
в'
Рис. 19
Рис. 20
Если бы 3) не пересекала ни один из отрезков (СО)\ [С'В'], то точка С (соотв. С') лежала бы по одну Сторону с В (соотв. В') относительно 3)> и поскольку 3) пересекает отрезок [ВВ'], то вопреки предположению 3) пересекала бы также и отрезок [СС'].
Предположим для определенности, что 3) пересекает [СВ] в точке Ль и обозначим через Л', В' точки, симметричные Л, В относительно прямой (СВ) (см. рис. 20).
Теперь (ЛВВ'Л') есть четырехугольник Саккери, одновременно являющийся и прямоугольником. Если Яр Н[ обозначают ортогональные проекции А{ на прямые (ЛВ), (Л'В'), то из соображений симметрии ВНI ® В'Д[, и предложение 10.2 показывает, что прямая НХН[ перпендикулярна (ЛВ) и (Л'В') и, значит, проходит через точку Ль Тогда (ЛВЛ^Я^—прямоугольник, и мы можем с помощью повторных симметрий замостить плоскость прямоугольниками, конгруэнтными (ЛВЛ1Я1) (рис. 21). Отсюда вытекает существование последовательности {Ап) точек 3> с Л0 =
11. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ АКСИОМЫ ЕВКЛИДА
= Л, такой, что ортогональная проекция Нп точки Ап на прямую (ЛВ) удовлетворяет условию
(У/ІЄЕІЧ) АН п — пАНи
где АН\Ф 0 (поскольку 2) не проходит через О). Тогда при достаточно больших п будем иметь АНп > > ЛВ; в этом случае А и Нп не лежат по одну сторону от прямой (ВС). Далее, прямые (ВС) и (НпАп) не пересекаются (они обе перпендикулярны к (ЛВ)). Таким образом, Ап и Нп лежат по одну сторону от (ВС)у причем противоположную той, где находится
А Б А'
Н,
н2
нъ В Мл
Рис. 21
А. Значит, отрезок [ААп] пересечет (ВС) вопреки предположению. ?
? Заметим, что это доказательство основано на том факте, что прямые—архимедовы.
11. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ АКСИОМЫ ЕВКЛИДА
Теперь мы в состоянии установить равносильность утверждений Еь Е2, Е3, Е4, Е5, Е6, сформулированных в конце § 9. Она будет следовать из предложения 10.5 и предложений, приведенных ниже.
Предложение 11.1. Предположим, что существуют прямая 2) и точка Л, такие, что через Л проходит единственная прямая 2)\ не пересекающая 2). Тогда для каждого действительного й > 0 существует прямоугольник, одна из сторон которого равна й, и через любую точку М плоскости 2[ проходит не более ОДНОЙ
262
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
прямой, не пересекающей произвольной заданной прямой А.
Доказательство, а) Пусть В— основание перпен-дикуляра, опущенного из Л на Д и С — такая точка на 3)у что ВС = й (см. рис. 22). Так как ЗЬ'— един* ственная прямая, проходящая через Л и не пересекающаяся с Зу то она совпадает с прямой, симметричной 3 относительно середины отрезка [ЛВ], и, следовательно, перпендикулярна к (ЛВ). Пусть, далее, 3" — перпендикуляр к 3), проведенный через С*
Ю' А В
--------р--------------------Ц-------------------
Я)"
. о__________________п
Рис. 22 Я) В с/ С
поскольку прямая, перпендикулярная к 3)" и проведенная через Л, не пересекает прямой Зу то она совпадает с 31 и пересекает 3)” в некоторой точке О. Таким образом, (АВСО)—прямоугольник, сторона [ВС] которого имеет длину с1.
Ь) Пусть А — прямая в плоскости 3, М — точка из ^\А и Р — основание перпендикуляра к А, проходящего через М (см. рис. 23). Положим МР = й, и пусть (АВСО)—такой прямоугольник, что ВС = й. Существует изометрия I плоскости Зу которая переводит В в М и С в Р. Пусть А' = 1(А)у О'= 1(0); тогда (МРО'А') — прямоугольник и О'еД. Предложение 10.5 показывает, что (МА')—единственная прямая, проходящая через М и не пересекающая А. ?
Предложения 10.5 и 11.1 делают очевидной эквивалентность аксиом (Е1) — (Е3) из конца § 9. Далее, хорошо известно, что (Е1) влечет (Е4) (см. упр. VI. 8) и (Е6), и поскольку из (Е4) следует (Е5), нам остается доказать, что из (Е5) вытекает (Е3), а (Еб) влечет (Е5).
Предложение 11.2. Пусть (ЛВС) — треугольник, сумма углов которого равна развернутому углу; тогда
II. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ АКСИОМЫ ЕВКЛИДА
263
существует прямоугольник, диагональ которого яв-ляется одной из сторон этого треугольника.
Доказательство. Можно считать, что углы В и С острые. Тогда основание Н высоты, проведенной из Л, лежит между В и С; сумма всех непрямых углов прямоугольных треугольников (АНВ) и (АНС) равна со. Из предложения 10.3 вытекает, что сумма непрямых углов каждого из этих треугольников равна прямому углу. Если К — точка, симметричная Н относительно середины / отрезка [АВ] (см. рис. 24), то легко обнаружить, что (АНВК) — прямоугольник. ?
