Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ферран Ж.Л. -> "Основания геометрии " -> 75

Основания геометрии - Ферран Ж.Л.

Ферран Ж.Л. Основания геометрии — Мир, 1989. — 311 c.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка): osnovaniyageometrii1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 95 >> Следующая

^ (Е*) Существуют прямая 3) и не лежащая на ней точка Л, такие, что через А проходит единственная прямая, не пересекающая 3.
^ (Е3) Существует прямоугольник (т. е. четырехугольник с четырьмя прямыми углами).
*) В такой форме постулат также называют именем Прокла или Прокла — Плэйфера.—Прим. перев,
256
гл. vr. метрическая геометрия
^ (Е4) Сумма углов любого треугольника равна раз-* вернутому углу.
? (Е5) Существует треугольник, сумма углов которого равна развернутому углу.
? (Е6) Существует пара неизометричных треугольников (ЛВС) и (А'В'С') с равными углами: А' = А, В' = в, С' = С.
Равносильность (Е6) с (Е1) доказывает, что евклидова плоскость — единственная, для которой существуют подобия, не сводящиеся к изометриям.
10. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК САККЕРИ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Уточним сначала, что многоугольник в плоскости 95 называется выпуклым, если все его вершины располагаются по одну сторону от прямой, соединяющей любую пару последовательных вершин.
Определение 10.1. В метрической плоскости четырехугольником Саккери называется выпуклый
четырехугольник (ABCD), такой, что углы ABC и
BCD прямые и AB = CD. Отрезок [ВС] называется его нижним, а отрезок [AD] — верхним основаниями (рис. 15).
Легко видеть, что в случае евклидовой геометрии такой четырехугольник будет прямоугольником. По-
10. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК САККЕРИ. ПРИЛОЖЕНИЯ 257
этому изучение этого четырехугольника позволит нам углубить представление о значении постулата Евклида.
? Теорема 10.1. Если (ABCD) — четырехугольник
Саккери, то АО^ВС и равные углы BAD, CD А острые или прямые.
Доказательство, а) С помощью последовательных осевых симметрий мы можем построить последовательность четырехугольников Саккери (АпВпВп+хАп+х), такую, что А0 = А, В0 = В, AX=^D, ВХ = С и для всякого /1Е N* отрезок [Ап+хВп+х] симметричен [Ап_хВп_х] относительно прямой (АпВп) (см. рис. 15). Тогда точки В0, Вх, Вп коллинеарны и для любого /2 g= N выполнено равенство ВпВп+х = ВС.
Точки (Ап) необязательно коллинеарны, гно для всех /IG N имеем АпАп+х = АО и АпВп = АВ.
Повторно применяя неравенство треугольника, мы увидим, что длина отрезка [ВВп] не превосходит длины ломаной (ВААХ ... АпВп), откуда
(уп є М) пВС < пАО + 2АВ,
и переходя к пределу после деления на п, получаем ВС^АО.
Ь) Отрезки [С/)] и [ВА] очевидным образом симметричны относительно медиатрисы отрезка [ВС] (рис. 16). Последняя соединяет, таким образом, середины I и I отрезков [ВС] и [АО], и медиатриса А отрезка [//] не пересекает ни одной из прямых (.АО) и (ВС) (поскольку прямые (АО), (ВС) и А перпендикулярны к прямой (//)). Тогда, поскольку / и / не лежат по одну сторону от А, так же обстоит дело и
?58
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
с точками Л и В; отрезок \АВ] пересекает А в некоторой точке К. Но ВС ^ ЛД поэтому точка В', симметричная В относительно А, принадлежит отрезку [Л/]. ^
Если В' — А (случай, когда ВС — АО), то ВЛВ =>
*= ЛВС = б. Если В' ф А, то в треугольнике (КАВ') угол в вершине В' прямой и по предложению 8.2
другие его углы острые, откуда ВАО = КАВ' < б. ?
Сформулированное утверждение доказано, и видно, что равенство ЛВ = СО имеет место только в
случае ВАО — СОА — б, когда (ЛВСВ) — прямоугольник. В этом случае имеем
Предложение 10.2. Пусть (ЛВСВ) — четырехугольник Саккери, являющийся прямоугольником (т. е.
такой, Что ВЛВ = СД4 = б). Если Л'е[ВЛ] и 1/е е[Сй\ — такие точки, что В А' — СО', то прямая (А'О') перпендикулярна прямым (АВ) и (СБ).
Доказательство. Равенства ВА = СО и ВА' = СО' влекут А'А — О'Б, и видно, что (А'ВСО')1 и ?А'АОО')—четырехугольники Саккери (рис. 17).
Поэтому ВА'Б'^ 6 и АА'О'^.6, что вместе с равенством В А'Б' + АА'О' = со приводит к равенствам
ВА'Б/ = АА'О' — 6. Итак, прямая (А'О') перпендикулярна к (АВ). Аналогично можно убедиться, что она перпендикулярна и к {СО). ?
Применение к изучению суммы углов треугольника
Для начала установим
Предложение 10.3. Сумма непрямых углов прямоугольного треугольника не превосходит прямого угла.
Доказательство. В силу следствия из предложения 8.2 треугольник имеет не более одного прямого ^гла. Пусть (АВС)—прямоугольный треугольник с прямым углом в В и В' — точка, симметричная В относительно середины I отрезка [АС] (рис. 18). На
30. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК САККЕРИ. ПРИЛОЖЕНИЯ 259
перпендикуляре к прямой (ВС), проведенном в точке С, найдется такая точка Д что СО = АВ, причем О расположена по ту же сторону, что и А, от прямой (ВС). Тогда (АВСй) есть четырехугольник Саккери,
и в силу симметрии ВАС = В'СА.
© Если В' = Д то ВСА + ВАС = ВСА + ОСА =
= всо === 6.
© Если В' Ф Д то по симметрии АВ' = ВС, откуда* применив теорему 10.1, получим АВ' ^ АО. Следовательно (см. упр. VI. 1), Л лежит с той же стороны,
А'
в'
Рис. 17
Рис. 18
что и В', относительно медиатрисы А отрезка [В'О], проходящего через С (поскольку СВ'= АВ = СО).
Таким образом, АСВ7 < ЛСД откуда
ВСА + ВАС = ВСА + ДСЛ =- ВСВ' < БСО = б.
Во всех случаях йСЛ + ВЛС^б. ?
Теорема 10.4 (называемая теоремой Лежандра — Саккери). Сумма углов треугольника не превосходит развернутого угла.
Предыдущая << 1 .. 69 70 71 72 73 74 < 75 > 76 77 78 79 80 81 .. 95 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed