Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Пересечение двух окружностей
Без какой-нибудь дополнительной аксиомы, по-видимому, трудно обсуждать вопрос о пересечении двух окружностей, не используя топологических соображений. Допустив, что окружности являются связными множествами на (см. упр. VI. 6), мы установим
Предложение 9.3. Для того чтобы две окружности ^(0, Щ, <$>(0',^) с различными центрами О, О' пересекались, необходимо и достаточно, чтобы расстояние А = 00' между их центрами удовлетворяло неравенствам
+ (1)
они имеют две общие точки или одну, смотря по тому, являются ли неравенства строгими: |У? — Я'\<(1<' С Я + Я' или одно из них становится равенством: й = \Я — Я'\ или й — Я -Ь /?7.
Доказательство. Необходимость условия (1) следует из неравенства треугольника. Пусть, напротив, (1) выполнено; обозначим через /(М)= О'М расстояние от О' до переменной точки М окружности ^(0,Я). Применив неравенства для сторон треугольника (МОО'), получим | (1 — Я | ^ 1(М) ^ й + Я\ кроме того, / принимает значения | (I — /? |, й + Я в точках А, В прямой (00'). Но / — непрерывное отображение из *&(0,Я) в Р (как ограничение на ^ (О, Я) функции расстояния). Если мы допустим, что &(0,Я) — связное множество, то / будет принимать на каждой из полуокружностей диаметра [АВ] каждое значение, заключенное между наименьшим й—Я| и наибольшим й + /?; в частности, f примет и значе-* ние Я' (так как из (1) следует, что \й — Я\^Я' ^
Остается доказать, что f на каждой из полуокружностей принимает значение Я' лишь один раз. Дей-
9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 253
ствительно, если 1(М) = 1(Р) — Я\ то прямая (00') есть медиатриса отрезка [МР] и точки М, Р могут принадлежать одной и той же полуокружности лишь при М = Р. Отсюда и вытекает результат, поскольку Ме?(0^)П^(0'/?7) равносильно /(ЛГ) = /?'. ?
Пересечение двух прямых
Полученные результаты показывают, что существуют пары прямых, не имеющих общей точки; так, имеет место
Предложение 9.4. Если прямая 3 не проходит через точку О, то прямая 3)', симметричная 3> относительно О, не пересекается с 3.
Доказательство. Если бы 3 и 3' имели общую точку Л, то им принадлежала бы и точка В, симметричная А относительно О. Эта точка отлична от точки А (так как АфО), поэтому прямые 3 и Зг должны были бы совпадать и 3) проходила бы через О как середину отрезка [АВ], то противоречит предположению. ?
Предложение 9.5 Две различные прямые 3), 3\ перпендикулярные к одной и той же прямой А, не имеют общих точек.
Это есть прямое следствие предложения 4.5. Из него выводится
^ Предложение 9.6. Через любую точку Л, не лежащую на прямой 3), проходит по меньшей мере одна прямая 3\ не пересекающаяся с 3).
Доказательство. Первый способ: выберем на 3) точку В и примем за 3)' прямую, симметричную 2) относительно середины О отрезка [АВ].
Второй способ: проведем через Л прямую А, перпендикулярную 3>, и затем построим 3' как перпендикуляр к А в точке Л. ?
Предложение 9.5 допускает следующее обобщение*
Предложение 9.7. Если две различные прямые 3, 3\ образуют с некоторой прямой А соответственно
254
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
равные углы1) (см. рис. 11), то они не имеют общей точки.
Доказательство. Если <25, <25' пересекают А в точках А, А', то, как легко видеть, 3)' и 3) симметричны относительно середины I отрезка [АА'].
? Этот результат, которым иногда пренебрегают, имеет важное практическое значение, так как служит оправданием приема построения параллельных с помощью угольника (см. рис. 12).
Наконец, предложение 9.7 само допускает следующее уточнение:
Предложение 9.8. Если Ах, Ву — полупрямые,
такие, что сумма хАВ + уВА равна развернутому углу или не определена, то они не имеют общей точки {см. рис. 13).
Доказательство. Если бы Ах и Ву пересекались в точке С, то треугольник (АВС) не удовлетворял бы следствию из предложения 8.2. ?
Аксиома Евклида о параллельных
Только дойдя до этого места, Евклид в своих «Началах» формулирует свой знаменитый пятый постулат в следующей форме:
^ (Е0) Если две полупрямые Ах, Ву расположены по одну сторону от прямой (АВ) и сумма хАВ + уВА
1) Выше не было определения соответствующих угле®; читателя не затруднит дать его, пользуясь понятиями полупрямых И полуплоскостей, — Прим. перев,
9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ, ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 255
строго меньше развернутого угла, то эти полупрямые имеют общую точку (см. рис. 14).
Легко видеть, что утверждение (Е0) равносильно следующему, которое является современной формой постулата Евклида, введенной в практику преподавания Дж. Плэйфером (J. Playfair, 1748—1819)1).
? (Ei) Через точку, не лежащую на прямой 3), проходит не более одной прямой, не пересекающей 3).
Эти формулировки равносильны также следующей:
Рис. 13 Рис, 14
? (Е') Для того чтобы две различные прямые не пересекались, необходимо, чтобы их соответственные углы с каждой общей секущей были равны.
Доказательство равносильности этих аксиом элементарно.
Не принимая временно ни одной из этих аксиом, мы продолжим изучение абсолютной геометрии, идя по стопам Саккери и Лежандра; мы обнаружим другие свойства, эквивалентность которых аксиоме Евклида менее очевидна, в их числе
