Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
248
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
равенство А'ВС = АСВ = АВС показывает, что полупрямые (ВЛ'( и (ВЛ(, находясь по одну сторону от прямой (ВС), совпадают. Точно так же (СЛ'(=(СЛ(, откуда Л' = Л и АВ = АС. ?
Неравенства в треугольнике
Предложение 8.2. В треугольнике (ЛВС) каждый внешний угол строго больше каждого не смежного с ним внутреннего.
Доказательство. Пусть Вх—полупрямая, противоположная (ВС(. Внешний угол при вершине В есть
АВх, и нам достаточно доказать неравенство АВх > > ВАС; остальные получаются из него перестановкой
А
Рис. 7 Рис. 8
вершин. Обозначим середину отрезка [АВ] через /, и пусть В — точка, симметричная С относительно I (рис. 7). Так как симметрия с центром I есть автоморфизм, то ВАС — АВО. С другой стороны, О принадлежит открытому угловому сектору, ограниченному полупрямыми Вх и (ВА (, откуда АВх > АВй = = ВАС * ?
Следствие. Сумма двух углов треугольника строго меньше развернутого угла.
Действительно, при тех же обозначениях имеем
8. НЕРАВЕНСТВА В ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ 249
Предложение 8.3. В треугольнике (ЛВС) неравенства АВ > АС и АСВ > ЛВС равносильны (иными словами, меры углов образуют тот же порядок, что и длины противолежащих сторон).
Доказательство. Пусть АВ > АС и fle [АВ] — такая точка, что AD = АС (см. рис. 8). По предложению 8.1 имеем ADC=* ACD, а по предложению 8.2
ЛВС < ADC, откуда АВ& < АСВ. Обратное утверждение получается рассуждением от противного с перестановкой В и С. ?
? Предложение 8.4. В треугольнике (ЛВС) длина каждой стороны строго меньше суммы длин двух дру гих сторон.
D
Доказательство. Пусть D — точка полупрямой, противоположной (ЛС(, такая, что AD = АВ. Имеем
ADB = ABD <CBD (см. рис. 9), откуда, применяя предложение 8.3 к треугольнику (BCD), получаем ВС < CD и ВС < АВ + АС.
Следствие. Для любых точек Л, В, С плоскости 53 имеет место неравенство d(A, В) ^ d(A, С) -f d(C, В), причем равенство выполняется лишь тогда, когда С — точка отрезка [АВ].
? Отсюда вытекает, что плоскость снабженная отображением расстояния d, является метрическим, пространством-, мы могли бы поэтому снабдить ее ассоциированной топологией.
Ю Ж. Лелон-Ферран
250
.Л. VT. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Назовем изометрией всякую биекцию 3* на сохраняющую расстояния; тогда имеет место
О Теорема 8.5. Каждая изометрия ^ является автоморфизмом.
Доказательство. Достаточно доказать, что если f—изометрия, то образ прямой есть прямая. Итак, пусть А, ?, С — три коллинеарные точки. Одна из них, для определенности С, лежит между двумя другими; тогда AB = АС + ВС, откуда d(f(A),f(B)) = = d(f(A), /(С)) + d(f(B), f(C)). Последнее равенство означает, что f(C) принадлежит прямой (f(A)f(B)). Итак, / сохраняет коллинеарность, а отсюда легко следует, что образ прямой есть прямая. ?
? Отныне мы можем применять слово «изометрия» вместо «автоморфизм».
9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ.
ПРОБЛЕМЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
Предложение 9.1. Пусть 2) — прямая плоскости^3, А — точка в 3>\3) и Н — основание перпендикуляра к 3), проведенного через А. Тогда для любой точки М е 3) имеем AM ^ АН и на каждой из полупрямых Ях, Ях', определяемых на 3) точкой Я, расстояние AM есть строго возрастающая функция расстояния ЯМ, стремящаяся к -f00 вместе с НМ,
Расстояние АН есть, таким образом, абсолютный минимум AM, когда М пробегает ЗЬ\ оно называется расстоянием от точки А до прямой 3).
Доказательство. Пусть точка А' симметрична А относительно прямой 3) (рис. 10). Для каждой точки М 3) имеем 2AM = AM + МЛ' ^ АА/ = 2АН и, значит, AM ^ ЛЯ, где равенство достигается лишь при М е {ЛЛ'], т. е. при М = Я.
Если М, Р — две точки прямой 35, принадлежащие одной и той же полупрямой с началом Я, и HP >
> ЯМ, то М е [ЯР] и аксиома Паша, примененная
9. ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 251
к треугольнику (HPА'), показывает, что прямая (АМ\ пересекает [РА'] в некоторой точке Q. Поэтому
2АР = АР + PQ + QA' >AQ + QA' и AQ + QA' = AM + MQ + QA' > AM + МА' = 2AM, откуда AP > AM.
Наконец, меняя ролями А и Af, найдем, что МА > > ЛШ по первой части предложения. Значит, МА стремится к тКоо, когда Л1Я стремится к + оо.
Приложение: пересечение прямой с окружностью
Так как окружность ^(О,/?) есть множество точек плоскости расстояние которых от ее центра, т. е. точки О, равно ее радиусу /?, то имеет место
Предложение 9.2. Для того чтобы прямая Ф пересекалась с окружностью ^(О,/?), необходимо и достаточно, чтобы расстояние й(ОуФ) от О до 2) не превосходило прямая имеет с окружностью две общие точки или одну, смотря по тому, будет ли й(ОуФ)<Я или й(ОуФ) = Д.
Доказательство. Необходимость условия вытекает из предложения 9.1. Для доказательства достаточности предположим, что с1(Оу Ф) < У?, и обозначим через Я ортогональную проекцию О на Ф. На каждой из полупрямых Нху Нх\ определяемых началом Я на Фу расстояние ОМ есть строго возрастающая функ-
10*
252
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ция расстояния НМ, изменяющаяся от (1(0,3)) до ,+ с», когда НМ изменяется от 0 до +оо; следовательно, она единственный раз принимает значение /?.
Исследование случая (1(0, 3))=# очевидно. ?
