Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Определение 7.2. Мерой неориентированных углов называется любое строго возрастающее отображение
7. СЛОЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
245
ф: такое, что ф (а + Р) = ф(а) + ф (Р) всякий
раз, когда сумма а + р определена.
? Теорема 7.3. Для любого действительного /г > О
существует единственная мера ф на такая что ф(со) = 6, и ф есть биекция Ж на интервал [0, к\ с: К.
Доказательство. Единственность. Если такая функция ф существует, то для любой пары (/г, <7) положительных целых чисел, таких, что q ^ 2П, должно иметь место равенство
ф(<7 • 2“"со) =1= q • Тпк. (1)
С другой стороны, в обозначениях вышеприведенного следствия, для любого угла а должно быть
Ф (а) = вир ф (х). (2)
х^Ба
Соотношения (1) и (2) определяют ф однозначно.
Существование. Обратно, пусть ф есть отображение Ж в К+, определенное условиями (1), (2). Если через Е обозначить множество всех углов вида <7-2_'гсо, где целые положительные <7, п таковы, что q ^ 2П, то очевидным образом
ф(* + #) = Ф(х) + ф(г/) (3)
для любой пары (х,у)^Е2, такой, что определена сумма х + У-
С помощью аппроксимации, поступая так же, как при доказательстве теоремы 1.5.2, выведем отсюда^ что (3) сохраняет силу и вообще для любой пары углов ху у с определенной суммой х + У- Отсюда вытекает возрастание ф.
Наконец, чтобы доказать, чта ф есть биекция бФ на [0, к\, достаточно заметить, что любое действительное | <= (О, Щ есть верхняя грань множества действительных чисел вида у-2~п/г (/геМ, <7^М>
я ^2"), меньших |, и что угол х = вир Г4-<*Л —
^ е '
единственный, удовлетворяющий условию ф(л;)= |. ?
246
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Можно заметить аналогию между этим доказательством и доказательством теоремы I. 5.2.
Итак, мера углов определена элементарным, хотя и строгим способом; основная идея состояла в построении градуированного «транспортира» в системе счисления с основанием 2; практическая конструкция такого «транспортира», как нам кажется, помогает понять принцип этого построения.
Напомним, что если 1г= 180 (соотв. 200, я), то действительное число ф(а) называется мерой угла а в градусах (соотв. в градах, радианах).
Задачи ориентации
Ориентация действительной аффинной плоскости— относительно простой вопрос, так как существование группы трансляций позволяет свести дело к линейной группе, что приводит к ориентированию реперов с фиксированным началом. Возможно, хотя и не столь просто, ориентировать метрическую плоскость 3>, не вводя дополнительной аксиомы, и доказать, что группа ее автоморфизмов распадается на два непере-секающихся множества: подгруппу автоморфизмов (автоморфизмы первого рода1)), разлагающихся в четное число осевых симметрий, и множество автоморфизмов (автоморфизмы второго рода), разлагающихся в нечетное число осевых симметрий.
Чтобы доказать это, можно начать с определения отношения эквивалентности на множестве 2) пар полупрямых (Ох, Оу)2), не лежащих на одной прямой: при этом говорят, что две пары имеют одинаковую ориентацию, если они принадлежат одному классу. Затем доказывается, что это отношение определяет два класса эквивалентности, и автоморфизмы классифицируются, смотря по тому, сохраняют или изменяют они ориентацию пары (Ох,Оу) из 2) (см. [ЬР1].
При такой ориентации метрической плоскости можно определить понятие ориентированного угла и меры ориентированных углов; эта последняя задача равносильна отысканию гомоморфизмов группы вра-
*) В оригинале: direct и indirect. — Прим. перев.
2) Здесь эти пары упорядоченные. — Прим. перев.
8. НЕРАВЕНСТВА В ТРЕУГОЛЬНИКЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ 247
щений 5?о с данным центром О на мультипликативную группу 0 комплексных чисел с модулем, равным 1, при подчинении этих гомоморфизмов условию сохранения циклического порядка. К этому можно прийти элементарным путем, отправляясь от меры неориентированных углов.
в. НЕРАВЕНСТВА В ТРЕУГОЛЬНИКЕ.
ПРИЛОЖЕНИЯ
? Обозначения. Начиная отсюда, будем обозначать расстояние между двумя точками А, В просто АВ вместо с1(АуВ) (что позволяет записать вычисления более наглядно). С другой стороны, полупрямую с началом А, содержащую точку В, будем обозначать через (АВ(. Далее речь идет всюду о неориентированных углах, и мы говорим просто об «углах»; угол называется острым (соотв. тупым), если он строго меньше (соотв. больше) прямого угла. Если (ЛВС) — треугольник, то будем обозначать ВАС или, короче, А угол между полупрямыми (АВ(, (АС(; дополнительный угол со — А будет называться внешним углом треугольника, смежным с Л; это есть угол между (АВ) и полупрямой, противоположной (АС(.
Наконец, ради сохранения традиции мы говорим, что сумма двух углов, если она определена, не превосходит развернутого угла со.
Равнобедренные треугольники
Предложение 8.1 !). В треугольнике (АВС) равенство АВ = АС равносильно В = С.
Доказательство. Если АВ = АС, то существует симметрия 5 с осью, проходящей через А, переставляющая В и С; отсюда следует равенство АВС = АСВ.
Обратно, если АВС — АСВ и А' —точка, симметричная А относительно медиатрисы отрезка [ВС], то
1) В старинных трактатах по геометрии это предложение называлось «ослиным мостиком» (лат. pons asinorum). Несомненно, оно рассматривалось как тест на сообразительность.
