Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Если Ог пересекает [АВ] в точке С, то полученный нами результат показывает (в измененных обозначениях), что 8(0х,0г) есть объединение полупрямых с началом О, пересекающих [АС], тогда как 8(0х,0у) есть объединение полупрямых с началом О, пересекающих [АВ]. Отсюда вытекает включение В (Ох, Ог) а 8 (Ох, Оу).
Если Ог пересекает [ВА'], то аналогично имеем 8 (Ох', Ог) а 8 (Ох', О у), откуда, переходя к дополнительным секторам, получаем 5 (Ох, Ог) =э В (Ох, Оу).
Ь) По предыдущему, включение В (Ох, Ои) с: с=В(Ох, Ос) равносильно Ои с: В (Ох, Ос), а значит, Ре [Ад]. ?
Следствие. Отношение порядка, определенное на множестве зФ углов, есть отношение линейного по-рядка, и каждое подмножество в зФ допускает верхнюю и нижнюю грани.
Доказательство. Линейность порядка вытекает из части а) предыдущего предложения. С другой стороны, часть Ь) показывает, что множество [0, ос] углов, не превосходящих некоторого неразвернутого
угла а = хОу, допускает строго возрастающую биек-
242
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
цию на отрезок [АВ], ориентированный от Л к В. Отсюда вытекает, что бФ допускает строго возрастающую биекцию на ломаную линию (АВА') (объединение отрезков [АВ\ и [В А'], ориентированное от А к А'); следовательно, Ж изоморфно замкнутому ограниченному интервалу / в R длины АВ + ВА'. Отсюда следует наше утверждение, так как любое подмножество в I имеет в I нижнюю и верхнюю грани.
7. СЛОЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
Во всем последующем, если не оговорено противное слово «угол» означает неориентированный угол, а S(Ox,Oy) обозначает замкнутый угловой сектор,, ограниченный двумя не противоположными полупрямыми Ох, Оу, или полупрямую Ох в случае Ох = Оу.
Определение 7.1. Говорят, что угол у есть сумма углов а, р, и пишут у=^а + Р, если существуют три полупрямые Ох, Оу, Ог с общим началом О, такие,
что хОу — а, уОг = $, хОг = у и
• либо 5 (Ох, Ог) — 5 (Ох, Оу) II5 (Оу, Ог),
• либо Ог — полупрямая, противоположная Ох (в этом случае говорят, что угол Р дополнителен к а и что а + р — развернутый угол).
Если у = сс + р, то пишут также р = у — сс и а —
= у — Р-
Заметим, что в любом случае эти три полупрямые лежат в одной полуплоскости (рис. 5).
7. СЛОЖЕНИЕ И ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ
24а
Из данного определения, основанного на теоретико-множественном объединении угловых секторов, следует, что сложение углов коммутативно и ассоциативно; оно удовлетворяет также правилу сокращения, по которому из а + (3 = а + (3' следует (3 = р'; однако сумма а + |3 определена не всегда (рис. 6).
Половинный угол. По определению, внутренняя биссектриса двух не противоположных полупрямых Оу, Ог есть полупрямая Ои, лежащая на прямой — биссектрисе Оу, Ог и содержащаяся в 5(0^/, Ог). Очевидно, что (см. рис. 5) уОи = иОг и уОи + иОг — = уОгу откуда уОг = 2уОи 1). Мы говорим, что угол
уОи есть половина угла уОгу и пишем уОи = 1/2уОг.
Прямой угол 6 — единственный, для которого 26 = = б + б = со; итак, половинный угол данного угла всегда определен.
По индукции для любого угла а определяется по-следовательность (ап) таких углов, что 2пап = а; угол ап обозначаем 2~ла.
Существование градуировки на множестве углов
Воспользуемся представителями углов вида х6у> где Ох — заданная полупрямая, а Оу содержится в замкнутой полуплоскости П, ограниченной прямой (Ох).
Пусть Ои — внутренняя биссектриса полупрямых Оу, Ог, расположенных в П; положим хОу — а, хОг — у (см. рис. 5); тогда легко видеть, что хОи = = у + у. Более того, каждая полупрямая, лежащая в 5 (Оу, Ог), содержится в одном из секторов 5 (Оу, Ои) и Б(Ог, Ои). На основе этого замечания по индукции доказывается
Предложение 7.1. Для любого угла а и каждого целого п ^ 1 существует единственное целое уп ^ О,.
*) Здесь под 2а понимается а + а. — Прим. перев.
244
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
удовлетворяющее неравенствам
<7„2~“cd < а < (qn + 1) 2~V
где со — развернутый угол.
Дело сводится к построению полупрямых Oyqn,
лежащих в П и таких, что xOyqn =? q • 2~""cd (О ^ q sg! 2п)> и к проверке того, что 2п угловых секторов S(Oyqy ОУп+1) (0 ^<7 ^2"— 1) при фиксированном а покрывают П.
Такая градуировка тем тоньше, чем больше ti\ она позволяет нам определить «меру» углов. Предварительно мы установим лемму, которая заменит нам здесь аксиому Архимеда.
Предложение 7.2. Для любого угла а > 0 существует целое пу такое, что 2~'Ico sg: а.
Доказательство. Пусть е — нижняя грань углов вида 2~п(йу которая существует в силу следствия предложения 6.2. Так как отображение а а/2 есть строго возрастающая биекция s& на интервал [0, б] множества S&y то
4 = inf 2”"со, откуда 4 = е и е = 0-
Z ЛЕЕ Ы* 1
Отсюда следует сформулированное утверждение. ?
Следствие. Любой угол а является верхней гранью множества Еа углов вида q • 2~п® (/ig N, 0 ^ q 2n)y не превосходящих a.
Доказательство, a есть мажоранта для Еау и для каждого угла р < а существует целое ne N, такое, что 2“"cd < a — р. Если q — наименьшее целое, такое, что q • 2_/гсо > а, то угол (q — 1)2~~”cd принадлежит интервалу [р, а] и Еа. Значит, а —наименьшая мажоранта Еа. ?
