Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
def
умножение: (хь X2) (уі, у2) = (х\у\, х2у2). Свойство ассоциативности, очевидно, имеет место, так как оно имеет место в компонентах. Элемент (1, 1) является единицей относительно введенного умножения. Для (xi, X2) обратным будет, очевидно,(х-', X2"1). Таким образом, декартово произведение групп превращено в группу, которая называется внешним прямым произведением групп Gi и G2 и обозначается Gi X G2.
Выясним некоторые свойства внешнего прямого произведения.
1. Множество элементов вида (х, 1) есть нормальная подгруппа группы Gi X G2, изоморфная группе Gi.
То, что элементы вида (хь 1) образуют подгруппу, очевидно. Столь же очевиден ее изоморфизм с группой Gi в силу соответствия (хі, 1)-<->хі. Подгруппу, образованную элементами вида (xi, 1), обозначим G\.
Из цепочки равенств
і»,. у2)~"'(*р 0Oi> ^)=Or1. »2_1)(хр 1)(уі> ^) =
= (Уї'ххух, У^У2) = ІУҐХ\У\> О
следует, что oi — нормальная подгруппа в G1XG2.
2. Множество элементов вида (1, х2) есть нормальная подгруппа группы Gi X G2, изоморфная G2.
Это свойство ничем, кроме обозначений, не отличается от предыдущего. Подгруппа, образованная элементами вида (1, х2), обозначается G2.
3. Элементы из подгрупп Gi и G2, соответственно, коммутируют при умножении.
ДеЙСТВИТеЛЬНО, (X1, 1) (1, X2) = (X1, X2) И (1,X2)(XbI) = (Xi1X2).
4. Gi П G2 = 1. Очевидно.
5. O1O2= G1XG2.
Действительно, любой элемент (хь X2) из Gi X G2 равен (Xb 1)(1, х2).
2. Разложение группы в прямое произведение. По большей части прямые произведения возникают при изучении конкретных классов групп.
Предложение 1. Пусть в группе G имеются две нормальные подгруппы Hi и H2 такие, что НХ[\Н2=\. Тогда элементы из Hi коммутируют с элементами из H2.
258
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ X
Доказательство. Пусть хіє/іі и х2 є H2. Рассмотрим их коммутатор z = X1X2Xf1X2-1. При расстановке скобок Z = = X1(X2X^1X2') становится ясно, что гєЯі, ибо первый множитель принадлежит Н\ по условию, а второй принадлежит Яь ибо JC1-1 <= Я, и Н\ — нормальная подгруппа. Расстановка скобок z = (JC1-V9Af1)х2 из аналогичных рассуждений дает гєйг. Но H1 и H2 имеют единственный общий элемент — единицу. Следовательно, X1X2JCf 1Xf1 = 1 HXiX2 = X2Xi.
Теорема 2. Пусть в группе G имеются две нормальные подгруппы H1 и H2 такие, что Hx П H2 = 1 и HxH2 == G. Тогда G изоморфна прямому произведению H1 и H2.
Доказательство. Рассмотрим внешнее прямое произведение Я(ХЯ2 и сопоставим каждой паре (хь х2)єЯіХЯ2 элемент XiX2 группы G. Это отображение гомоморфно. Действительно, произведению пар (X1, X2) (уи у2) = (ххух, х2у2) сопоставляется элемент xxyxx2y2^G. Но в силу предложения 1, у\х2 = х2у\, так что Х\у\Х2у2 = ххх2уху2 = (XiX2) (у\у2), т. е. образ произведения пар равен произведению образов. Это отображение является отображением на всю группу G, ибо G = HxH2. Оно взаимно однозначно, ибо если XiX2 = уху2 при X), Г/1 є Яі и X2, у2 е H2, то «Zf1X1 = у2х~\ Левая часть приадлежит Hx, правая H2, следовательно ^f1X1= =г/2хг' = 1, ибо Я|ПЯ2=1, и Xi = yi, X2 = у2. Таким образом, отображение (xj, х2)->-хіх2 оказывается действительно изоморфизмом групп Яі ХЯ2 и G.
В этой ситуации говорят, что G разлагается в прямое произведение нормальных подгрупп Яі и H2, и произведение HxH2 в этом случае называют внутренним прямым произведением нормальных подгрупп Я| и H2.
Понятие прямого произведения естественно обобщается на произвольное конечное множество групп. Именно, (внешним) прямым произведением групп Gi, G2, Gk называется множество строк (х;, х2, .... Xk) при їіЄОі с покомпонентным умножением:
(X1, X2, .... Xk) (Уі, У2, yk) = (ХіУі, х2у2, xkyk).
Легко видеть, что это множество есть группа с единицей (1, 1, 1). Прямое произведение обозначается GiXG2X ••• ... X Gk.
Имеют место следующие свойства.
1. Множество элементов вида (1, 1, х,, 1, 1) образует нормальную подгруппу группы Gi X G2 X • • • X Gk, изоморфную группе Gi. Обозначим ее G1.
2. Произведение GiG2 ... Gk равно GiXG2X ... X Gk.
3. Элементы групп G1 \л G і при іф\ коммутируют.
4. Пересечение каждой группы Oi с произведением всех остальных Gj1 j ф І, состоит только из 1.
ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
253
Внутреннее прямое произведение определяется аналогично разобранному выше случаю k = 2. Именно:
Теорема 3. Пусть группа G имеет нормальные подгруппы Я1г H2, Нк такие, что HxH2 ... Нк = G и при любом і пересечение подгруппы Hi с произведением H1 ... Я,_іЯ,+і ... Hk состоит только из 1. Тогда G изоморфна прямому произведению Я] X ... .. - X Hk.
Доказательство. В силу предложения 1 элементы из разных подгрупп Hi и Hj коммутируют. Сопоставим элементу
{хи X2.....xfe)e Я) X Я2Х ••• X Я* элемент XiX2 ... хк. Это
отображение гомоморфно: Х\Х2 ... xky\y2 ... ук = Х\у\х2у2... хкукг ибо элементы Xi и уі, при іф], коммутируют. Оно эпиморфно, ибо Я,Я2 ... Hk = G. Оно мономорфно, ибо из равенства х\ ... Xi-iXiXi+i ... Xk = у\ ... Уі-\УіУі+\ ...ук следует, в силу коммутирования элементов из разных Я/, что xtyrl =yixl~l ... ... t//_1JC~1,r/i_H,Jcr^1 ... ykx~l. Левая часть принадлежит Я,ч правая — произведению всех Я,- при j ф і. Поэтому обе части равны 1 и Xi = у>„ и это верно для всех 1=1,2, ..., k. Итак рассматриваемое отображение есть изоморфизм.
