Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Т=^2 з 4 "" ") ВСЄХ 3«1ементов- Действительно, VіOt = (2, 3),
тг1 (2, 3)т = (3, 4) и т. д. Таким образом, в группе, порожденной подстановками а и т, содержатся все транспозиции соседних элементов, следовательно, и все транспозиции и все подстановки. Группа, которая порождается конечным множеством образующих, называется конечно порожденной. Класс конечно порожденных групп довольно обширен, и в него входят, очевидно, все конечные группы.
7. Наименьшая нормальная подгруппа, содержащая данное множество элементов.
Предложение 10. Пусть дана группа G и некоторое мно-cicl :тво S ее элементов. Тогда существует наименьшая нормальная подгруппа группы G, содержащая множество S.
Доказательство. Рассмотрим множество 7" = S (J S-1 и множество U, состоящее из всех элементов T и всех с ними сопряженных в G. Множество U содержит вместе с каждым элементом обратный и все с ним сопряженные, ибо (с-'ас)-1 = с~1а~1с и
'(c]" W1) C2 = (C1C2)- а (C1C2). Пусть H есть множество всех произведений аіа2 ... а* элементов множества V. Тогда H есть подгруппа группы G и, более того, нормальная подгруппа, ибо при любом се G будет с-х(а\а2... ak)c = (c-la\c) (c~la2c) ... (с~1акс). Конечно, H содержит S. Далее, каждая нормальная подгруппа, содержащая S, должна содержать все обратные элементы к элементам S, все сопряженные в G с элементами из S и с обратными к ним элементами и все их произведения, т. е. всю группу Я. Таким образом, Я есть наименьшая из нормальных подгрупп группы G, содержащих множество S.
Предложение 10 можно было доказать аналогично первому доказательству предложения 9. Для этого надо воспользоваться очевидным фактом, что пересечение любого множества нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа, затем рассмотреть множество всех нормальных подгрупп, содержащих S, и взять их пересечение. Это и будет, очевидно, наименьшая из нормальных подгрупп, содержащих S.
Построенная нормальная подгруппа H обладает тем свойством, что гомоморфизм группы G с ядром Я отображает все элементы из S в единицу. Более того, гомоморфизм с ядром Я обладает следующим свойством универсальности: любой гомоморфный образ
256
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
1гл. x
группы G, в котором образами всех элементов из S является 1, есть гомоморфный образ группы G/H (т. е. образа группы G при гомоморфизме с ядром H).
Действительно, ядро H1 гомоморфизма, при котором все элементы из S отображаются в 1, содержит S, S-1 и, следовательно, Т, U и все произведения элементов из U, т. е. всю нормальную подгруппу Н. Следовательно, образ G при гомоморфизме с ядром Hi есть гомоморфный образ группы G/H, в силу замечания об универсальности факторгруппы, которое было сделано в связи с теоремами 7 и 8.
8. Коммутант группы. Выражение aba~xb~x, где а и Ь — элементы группы G, носит название коммутатора элементов а и Ь. Пусть aba~xb~x = г. Тогда ab = zba, так что коммутатор z играет роль как бы поправочного множителя при перестановке элементов а и Ь. Поэтому для того чтобы а и b были перестановочны, необходимо и достаточно, чтобы их коммутатор был равен 1. Подмножество группы G, состоящее из всевозможных коммутаторов и их конечных произведений, носит название коммутанта группы G. Так как элемент, обратный к коммутатору: (aba-yb~l)-x = bab~xa~x сам является коммутатором, коммутант есть подгруппа группы G, порожденная множеством коммутаторов. Далее, элемент с~х (aba~xb-x)c, сопряженный с коммутатором, есть тоже коммутатор. Действительно, с-1 (аЬа~хЬ~х) с = = (с~хас) (с~хЬс) (с~хас)-х (с~хЬс)-х. Поэтому коммутант есть нормальная группа группы G. Его принято обозначать [G, G].
Факторгруппа группы G по коммутанту абелева. Действительно, все коммутаторы элементов группы G находятся в ядре естественного гомоморфизма группы G на факторгруппу по коммутанту и, следовательно, образы любых двух элементов группы G имеют единичный коммутатор, т. е. коммутируют.
При любом гомоморфизме ф группы G в абелеву группу образ является гомоморфным образом факторгруппы по коммутанту. Действительно, коммутаторы всех элементов G при гомоморфизме Ф отображаются в 1, т. е. принадлежат ядру гомоморфизма, которое, тем самым, содержит коммутант. В силу свойства универсальности факторгруппы отсюда следует, что образ группы G при гомоморфизме ф есть гомоморфный образ факторгруппы по коммутанту.
9. Центр группы. Центром группы G называется множество ее элементов, каждый из которых коммутирует со всеми элементами группы G.
Пусть а принадлежит центру и с — произвольный элемент группы G. Тогда ас = са. Умножив это равенство слева и справа на а~х, получим са~х = а~хс, так что а-1 тоже принадлежит центру. Далее, если а и b принадлежат центру, то при произвольном ceG abc = acb = cab, т. е. ab тоже принадлежит центру. Та-
ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ГРУПП
257
ким образом, центр есть подгруппа группы G. Из равенства c~lac = а при любом сєо следует, что центр является нормальной подгруппой группы G.
§ 4. Прямое произведение групп
1. Внешнее прямое произведение. Пусть имеются две группы Gl и G2. Рассмотрим их декартово произведение, т. е. множество пар {(хи х2)| X1SGi, х2є02}. Введем для них «покомпонентное»
