Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Переформулируем эту теорему в понятиях и терминах, имеющих широкое применение в некоторых разделах современной
§3]
ГОМОМОРФИЗМ
253
алгебры. Изобразим эпиморфизмы q>i и <р2 стрелками:
Получится рисунок, называющийся диаграммой с отображениями. В теореме утверждается, что если ядро фі содержится в ядре ф2, то существует эпиморфизм фз группы Si на S2 такой, что <рзфі Z= ф2. В терминах диаграмм это означает, что исходную диаграмму можно замкнуть эпиморфизмом фз, т. е. перейти к диаграмме,
причем так, что получившаяся диаграмма будет коммутативной, т. е. при «движении» из G в S2 по стрелке ф2 и по составному пути, состоящему из стрелок фі и фз, будет получаться одинаковый результат.
Употребление коммутативных диаграмм очень облегчает рассуждения в ситуациях, где одновременно рассматривается много отображений (в частности, гомоморфизмов). В нашей достаточно простой ситуации в использовании языка диаграмм необходимости нет.
Доказательство теоремы. Возьмем любой элемент z є Si и любой его прообраз а є G. Все прообразы элемента г отличаются множителями из ядра фі и, так как ядро фі содержится в ядре ф2, их образы в S2 будут совпадать с ф2(а). Таким образом, мы построили отображение Si в S2. Обозначим его через фз, т. е. положим фз(г) = ф2(а). Ввиду того, что любой элемент аеС является прообразом некоторого z = фі(а)єSb мы видим, что ф2(о) = фз(фі(а)), так что ф3фі = ф2. Произведению ZiZ2 элементов из Si соответствует произведение а\й2 их прообразов с точностью до множителей из ядра фЬ содержащегося в ядре ф2, так что фз(2і22) = ф2(аіа2) = ф2(аі)ф2(а2) = ф3(гі)фз(г2), т. е. ф3 есть гомоморфизм Si в S2. Наконец, любой элемент у из S2 есть образ ф2(а) некоторого элемента из G, и а, в свою очередь, есть прообраз некоторого z є Si. Поэтому любой элемент у є S2 есть фз(г)" при г є Si, так что ф3 есть гомоморфизм Si на S2, т. е. эпиморфизм. Теорема доказана. (Рассуждения, составившие доказательство теоремы, удобно проследить на диаграмме.)
Пусть теперь фі и ф2 — естественные гомоморфизмы группы G на факторгруппы G/Hi и GfH2, причем H2ZdHu Тогда фз из тео-
264
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. X
ремы 6 есть гомоморфизм GfHx на GfH2. Ясно, что его ядром является Н2/Н\. Поэтому верна следующая теорема.
Теорема 8. Пусть G =э H2^ Hx, где H1 и H2- нормальные подгруппы в группе G. Тогда H2JHx есть нормальная подгруппа группы G/Hi и (G/H\)/(H2JHx) изоморфна GfH2.
Разумеется, теорему 8 нетрудно доказать и непосредственно, исходя из рассмотрения классов смежности, из которых составлены упомянутые в условии факторгруппы.
Теорему 7 можно рассматривать также как следующее свойство «универсальности» факторгруппы. Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Тогда любой образ G при гомоморфизме, при котором элементы группы H отображаются в единицу, является гомоморфным образом группы GfH. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно положить, что фі есть естественный гомоморфизм G на GfH и фг — какой-то гомоморфизм, при котором элементы H отображаются в единицу. Тогда ядро фг содержит Н, т. е. ядро фь и по теореме 7 образ ф2 есть гомоморфный образ факторгруппы GfH.
6. Наименьшая подгруппа, содержащая данное множество элементов.
Предложение 9. Пусть дана группа G и некоторое множество S ее элементов. Тогда существует наименьшая подгруппа группы G, содержащая множество S (т. е. содержащаяся во всякой другой подгруппе, содержащей S).
Мы дадим два доказательства этого предложения.
1-е доказательство. Из свойств, характеризующих подгруппу (предложение 5 из § 1), ясно, что пересечение любого множества подгрупп группы G есть подгруппа группы G. Рассмотрим множество всех подгрупп, содержащих S. Оно непусто, так как ему принадлежит сама группа G. Пересечение всех подгрупп этого множества является подгруппой. Она содержит S и содержится в любой подгруппе, содержащей S.
2-е доказательство. Рассмотрим множество T = SWjS"1. Множество T содержит S и вместе с каждым своим элементом Содержит его обратный. Пусть H есть множество всех (конечных, разумеется) произведений аха2 ... ak элементов множества Т. Ясно, что произведение двух элементов из H снова принадлежит H и элемент, обратный к элементу аха2 ... ak из Н, тоже принадлежит Н, ибо(а,а2 ... =^/71 ••• а2~1аГ', 3 множество T вместе с каждым элементом содержит обратный. Таким образом, H есть подгруппа группы О. Далее, H содержит S, ибо среди его элементов имеются все «одноэлементные произведения» а є Т, в частности, элементы из S. Нанонец, любая подгруппа, содержащая S, содержит и множество обратных элементов S-1, тем самым и множество T и все произведения, составленные из элементов Т, т. е. всю подгруппу Н,
ГОМОМОРФИЗМ
255
Возможно, что наименьшая подгруппа, содержащая множество S, есть вся группа G. В этом случае говорят, что множество S порождает группу G и элементы множества S называются порождающими G или образующими. Так, циклическая группа порождается одним элементом. Нетрудно видеть, что для симметрической группы Sn всех подстановок п элементов можно взять две образующих — транспозицию а = (1, 2) и круговую подстановку
