Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 96

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 168 >> Следующая


ф((Яа) (Hb)) = <р(На)ср(НЬ).

Естественно встает вопрос—-любая ли нормальная подгруппа может быть принята за ядро гомоморфизма. Ответ положительный. Отображение группы G на факторгруппу G/H по нормальной подгруппе Я, заключающееся в том, что каждому элементу группы G сопоставляется содержащий его класс смежности, есть

гомоморфизм

гомоморфизм, и его ядро совпадает с Я. Это непосредственно следует из определения умножения классов смежности как элементов факторгруппы. Этот гомоморфизм G на G/H называется естественным гомоморфизмом. Первая теорема о гомоморфизме утверждает, что любой гомоморфизм в основном (формальнее — с точностью до изоморфизма) не отличается от естественного гомоморфизма группы на ее факторгруппу по ядру гомоморфизма. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть дана циклическая группа G порядка п = = mk. Пусть Я — ее подгруппа, порожденная элементом ак, где а — элемент, порождающий G. Ясно, что порядок ак равен пг, и порожденная им группа состоит из элементов 1, ак, а2к,a(m~l)ft. Представителями смежных классов G по Я могут служить 1, а, ... ..., а*-1. Умножение смежных классов сводится к сложению показателей по модулю k, ибо ак порождает Я. Таким образом, здесь факторгруппа изоморфна циклической группе порядка k.

Пример 2. Пусть G — группа по умножению невырожденных квадратных матриц над полем Р, S — полугруппа элементов ноля P относительно умножения и ф — сопоставление каждой матрице из G ее определителя. Это отображение есть гомоморфизм, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей. Здесь образ состоит из всех элементов поля Р, кроме нуля, ибо любой элемент а из P есть определитель матрицы, отличающейся от единичной тем, что одна из единиц на диагонали заменена на а. Ядром отображения является группа матриц с определителем 1, так что эта группа есть нормальная подгруппа группы всех невырожденных матриц (в этом мы убедились раньше прямым подсчетом). Классы смежности по ядру составляют матрицы, имеющие один и тот же определитель.

3. Гомоморфные образы подгрупп.

Предложение 5. Пусть H и К— подгруппы группы G, причем H — нормальная подгруппа. Тогда HK является подгруппой G и HK = КН.

Доказательство. Пусть ab <= HK, причем иєЯ, b є К-Тогда (ab)-1 = b~la~l =(b-la-lb)b-\ причем /г'г'б є Я, ибо Я — нормальная подгруппа, и />_| е К. Следовательно, (ab)~l <= ^HK. Далее, пусть аф\ и а2Ь2 принадлежат HK, причем ai и а2 принадлежат Я, Ьх и Ъ2 принадлежат К. Тогда (аф) ¦ (ajb2) = = (aioia2ofl) oiO2, где аФіаФ^'е^Н в силу нормальности H и bib2^.K, так что (аф{) (a2b2)& HK. Предложение доказано.

Заметим, что произведение двух подгрупп, из которых ни одна не является нормальной, вообще говоря, не обязано быть подгруппой. Так, если Я состоит из диагональных невырожденных матриц &2J, ад состоит из трех матриц: ^-1 J, ее квадрата

и ее куба j), to HK состоит из матриц вида

252

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП

{ГЛ. X

(_б2 ( \\ о ) и (o' J2)- Объединение этих трех

множеств матриц не образует группы, ибо при Ь\ ф Ь2 матрица

/ 0 &|\ bib2 о \

\-Ь2 -Ь2)'\ h Q )~\blb2~b22 ЬХЬ2)

не входит в это множество.

Теорема 6 (вторая теорема о гомоморфизме). Пусть H и К—¦ подгруппы группы G, причем H — нормальная подгруппа. Тогда HK/H изоморфна К/К(\Н.

Доказательство. Рассмотрим какой-либо гомоморфизм ф группы G на группу 5 с ядром Н, например, естественный гомоморфизм G на G/H. Образы элементов подгруппы К составят, очевидно, некоторую подгруппу P группы S, являющуюся гомоморфным образом К при отображении ф', совпадающем с ф на К. Ядром отображения ф' является, очевидно, пересечение Kf]H группы К с ядром H гомоморфизма ф. Поэтому P изоморфна К/К(]Н. С другой стороны, если z є P является образом элемента с є К, то полный прообраз ф-1(г) есть смежный класс He, и объединение всех этих прообразов есть подгруппа HK группы G. Поэтому образ HK при гомоморфизме ф снова совпадает с P и, так как ядро H гомоморфизма ф содержится в группе HK, группа P изоморфна НК/Н. Отсюда уже следует, что факторгруппы KiK П H и НК/Н изоморфны, что и требовалось доказать.

4. Подгруппы факторгруппы. Пусть H — нормальная подгруппа группы G и К — какая-либо промежуточная подгруппа, т. е. G =э К ^> Н. Тогда H есть нормальная подгруппа для К и факторгруппа К/Н имеет смысл. Ясно, что К/Н есть подгруппа группы G/H.

Если же задана некоторая подгруппа L факторгруппы G/H, то, «рассыпав на элементы G» классы смежности, из которых составлена L (точнее — построив объединение элементов, составляющих классы смежности, из которых состоит L), мы получим множество К элементов группы G, которое, очевидно, будет подгруппой группы G и К/Н = L. Таким образом, между подгруппами факторгруппы G/H и промежуточными между GnH подгруппами имеется естественное взаимно однозначное соответствие.

5. Третья теорема о гомоморфизме.

Теорема 7. Пусть имеются два гомоморфизма фі и ф2 группы G на группы S1 и S2, причем ядро ф2 содержит ядро фь Тогда существует гомоморфизм ф3 группы Si на группу S2 такой, что фзф, = ф2 (г. е. фз(фі(а)) = фг(а) при любом а є G).
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed