Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Группа, образованная классами ..с_межности» группы G по нормальной подгруппе Я, называется факторгруппой G по Я и обозначается G/H.
Мы уже встречались с факторгруппами. Так, классы целых чисел по модулю пг по отношению к действию сложения составляли факторгруппу всех целых чисел по подгруппе чисел, кратных модулю пг. Аналогичная ситуация имела место в других случаях, когда мы рассматривали сравнения и классы сравнений.
нальна.
подгруппа Я группы
подгруппой длялю-
ГОМОМОРФИЗМ
249
Само определение факторгруппы тоже можно сформулировать в терминах сравнений. Именно, назовем два элемента ах и а2 группы G сравнимыми по нормальной подгруппе Н, если O1U2-1S H или, что то же самое, а\ є Ha2, т. е. O1 и O2 принадлежат к одному классу смежности по Н. Тогда, если ах = а2 (H) и b\ = b2 (H), то axbx=.a2b2 (H), ибо Oi=Zi02, bx = z2b2 при z\, Z2 (= H и O1O1 = Z1U2Z^2 = Zx (a2z2a2') a2b2 = z3a2b2 при z3 = Zx (a2z2a21') є H,
т. e. aj&i = a2b2. Поэтому, если определить произведение классов как класс, содержащий произведение каких-либо представителей из этих классов, определение будет корректным. Оно, разумеется, совпадает с определением произведения классов смежности как элементов факторгруппы.
§ 3. Гомоморфизм
1. Определение. Пусть G — группа и S — другая группа (или полугруппа). Пусть каждому элементу а из G сопоставлен некоторый элемент из 5, т. е. дано отображение GbS. Отображение ф называется гомоморфным или гомоморфизмом GbS, если произведению элементов из G соответствует произведение их образов, т. е. ф(йі02) = ф(о!)ф(а2), где ф(о) — образ иєо при отображении ф. При этом, вообще говоря, не предполагается, что образы элементов G заполняют все S, и не предполагается, что различным элементам из G соответствуют обязательно различные элементы из S, т. е. при гомоморфном отображении элементам из G разрешается «склеиваться».
Предложение 1. Гомоморфным образом q>(G) группы G является группа. Образом единицы группы G является единица образа и взаимно обратным элементам G соответствуют взаимно обратные образы.
Доказательство. Равенство ф(а&) = ф(о)ф(&) означает, что произведение двух элементов из q>(G) принадлежит (p(G). Ассоциативность следует из ассоциативности в G и S. Равенство ф(а) = ф(1о)= ф(1)ф(а) показывает, что ф(1) есть левая единица для y(G). Наконец, ф(а-')ф(а) = ф(о-]а) = ф(1) показывает, что ф(а-1) есть левый обратный элемент для ф(а) в cp(G). Этого уже достаточно (предложение 2 из § 1) для заключения, что ф(о) есть группа. Чтобы избежать ссылки на довольно сложно доказываемое предложение 2, достаточно было бы рассмотреть еще равенства ф(а)=ф(о1) =ф(о)ф(1) и ф(а)ф(а-1)=ф(аа-1) = = ф(1).
Заметим, что если S есть только полугруппа, а не группа, то ф(1) не обязана быть единицей для всей 5. Однако ф(1) является единицей для q>(G) или для любой группы, содержащейся в S и содержащей ф(0).
250
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. X
Введем еще два полезных термина. Гомоморфизм группы G, образом которого является все множество S, называется гомоморфизмом G на S («на» вместо «в») или эпиморфизмом. Гомоморфизм GbS, при котором различным элементам из G сопоставляются различные элементы в S, называется мономорфизмом или вложением GbS. Ясно, что при мономорфизме имеется взаимно однозначное соответствие между элементами G и их образами, сохраняющееся при умножении, так что при мономорфизме ср группа G и ее образ cp(G) изоморфны. Гомоморфизм GbS, являющийся одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, есть, очевидно, изоморфизм GhS.
2. Первая теорема о гомоморфизме. Пусть ср — гомоморфное отображение группы G на группу S. Множество всех элементов из G, имеющих один и тот же образ х єе S, называется полным прообразом элемента х и обозначается ср-1 (х) (следует помнить, что ср-1^) является, вообще говоря, множеством элементов G, а не одним элементом). Полный прообраз'единицы группы S называется ядром гомоморфизма.
Предложение 2. Ядро гомоморфизма ср группы G на группу S является нормальной подгруппой группы G.
Доказательство. Введем обозначение Я для ядра. Если аєї/, то а-1 є Я, ибо ф(а-1) = (ф(а))-1 = 1. Если аеЯ и &ЄЙ, то ab є Я, ибо ср(а&) = ср(а)ср(Ь) = 1 • 1 = 1. Наконец, если aefl и ceG, то г'асєЯ, ибо ф(с~1ас)=ф(с)-1ф(а)ф(с) =
==ф(С)-'-1-ф(С)= 1.
Предложение 3. В условиях предложения 2 полные прообразы элементов из S являются классами смежности по ядру гомоморфизма.
Доказательство. Если а и b принадлежат одному классу смежности по Я, то b = za при гєЯ,и тогда ф(Ь)= ф(г)ф(а) = = 1-ф(а) = ф(а). Обратно, если ф(а) = ф(&), то ф(а&_1)=1, так что ab~x єй, аЕЯі и, конечно, b єе Hb.
Теорема 4 (первая теорема о гомоморфизме). Гомоморфный образ группы изоморфен ее факторгруппе по ядру гомоморфизма. (Формулировка этой теоремы является пугалом для неосведомленных, так как состоит практически из одних терминов.)
Доказательство. Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие, в силу предложения 3. Оно сохраняется при умножении, ибо
