Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 5

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 168 >> Следующая


Предложение 6. Если целые числа аи а2 взаимно просты с целым числом Ь, то их произведение а\й2 тоже взаимно просто с Ь.

12

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

[ГЛ. I

Доказательство. Существуют целые щ, vu и2, V2 такие, что O1«!+ Ou1 = I1 Ct2U2-T-Ov2=I в силу предложения 5. Перемножая эти равенства, получим после очевидных преобразований

CLiCL2UxU2 -f- Ь {UiUiV2 + U2U2Vі + ^UiU2) = 1,

откуда, в силу того же предложения, числа аха2 и b взаимно просты, ибо UiU2 и UiUxV2-T- a2u2vi + bviv2 — целые числа.

Предложение 7. Если целые числа ах, а2, ак все взаимно просты с Ь, то произведение аха2 ... ак тоже взаимно просто с Ь.

Доказательство. Применим метод математической индукции. При k = 2 предложение верно в силу предложения 6. Допустим, что оно верно для произведения k — 1 множителей, и в этом предположении докажем его для k множителей. Запишем O1O2 ••¦ «а как Oi (а2 ... ак). Первый множитель ai взаимно прост с b по условию. Второй а2 ... ак взаимно прост с b в силу индуктивного предположения. Следовательно, мы можем применить предложение 6 и заключить, что Oia2 ... ак взаимно просто с Ь, что и требовалось доказать.

Предложение 8. Если целые числа а\, ..., ак и b\, ..., bm таковы, что каждое число а,-, і = 1, k, взаимно просто с каждым числом Ь\, /= 1, ш, то их произведения ai ...а* и bi ... bm взаимно просты.

Доказательство. Применив m раз предложение 7 к числам аи ak и bj, J = 1, m, получим, что числа Ьи Ь,„ взаимно просты с числом ai ... ak. Применяя еще раз предложение 7, получим, что bi ... bm взаимно просто с ai ... ak, что и требовалось доказать.

Предложение 9. Если целые числа а и b взаимно просты, то при натуральных hum числа ak и bm тоже взаимно просты.

Для доказательства достаточно в предложении 8 положить ai = ... = ак = a, bi = ... = bm = Ь.

Предложение 10. Если произведение ab двух целых чисел а и b делится на целое число с и первый множитель а взаимно прост с с, то b делится на с.

Доказательство. По условию а и с взаимно просты, так что существуют целые U0 и Vo такие, что аи0 + CV0 = 1. Умножив это равенство на Ь, получим abu0 -f- cbvo = b. Первое слагаемое левой части делится на с по условию, второе делится на с тривиальным образом. Следовательно, и их сумма b делится на с, что и требовалось доказать.

Предложение 11. Если целое число а делится на целые взаимно простые числа Ьх и Ь2, то а делится и на их произведение.

Доказательство. Пусть а = Ьхс при целом с. По условию а делится на b2, a O1 взаимно просто с Ь2. Следовательно, согласно предложению 8 число с делится на Ь2, т. е. с = b2m при целом т. Поэтому а = (Ьф2)т, что и требовалось доказать.

ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

13

Установленные предложения очень просты и кажутся почти тривиальными. Тем не менее из них можно вывести некоторые не совсем тривиальные следствия.

Выведем, например, что степень с натуральным показателем дробного рационального положительного числа не может быть целым числом.

Действительно, пусть а/Ь— дробное рациональное число с целым'положительным знаменателем бис целым числителем а. Без нарушения общности можно считать, что числитель и знаменатель взаимно просты, этого можно добиться за счет сокращения на наибольший общий делитель. Пусть это выполнено. Ясно, что b > 1, иначе а/Ь было бы целым. Пусть т — натуральное число. Тогда (a/b)m — am/bm. В силу предложения 7 ат и Ьт взаимно просты. Поэтому ат не может делиться на Ьт, так что ат/Ьт не является целым числом.

Из доказанного следует далее, что если целое положительное число с не является m-й степенью целого числа (при натуральном т), то оно не является m-й степенью дробного рационального

т

числа. Поэтому -\/с_естъ_лкбо целое число,_либо иррациональное. Так, числа Vf, V^, л/5, V^, V?» V^. VlO, ••• (пропускаются целые ¦y/4, V^,---) все иррациональны, также иррациональны

и числа V2, V3, Vl Vs, Ve, V7, V9, V

10, ... (пропускаются целые V^, V27, ...) и т. д.

6. Простые числа. Целое положительное число, большее единицы, называется простым, если оно не имеет целых положительных делителей кроме себя и единицы. Так, числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 простые, а числа 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, ... нет. Непростые числа 4, 6, ... называются также составными. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Предложение 12. Всякое целое число, большее 1, делится по крайней мере на одно простое число.

Доказательство. Пусть п > 1 — целое положительное число. Если оно простое, предложение верно, ибо п всегда делится на себя. Если оно составное, то оно делится на число П\ > 1, меньшее чем п. Если п\ простое, предложение доказано: п делится на щ. Если нет, то оно делится на меньшее чем П\ число п2 и т. д.

Процесс выделения делителей п > п\ > п2 > ... оборвется через конечное число шагов, а оборваться он может только на том, что мы придем к простому делителю Пк. Предложение доказано.

- Простых чисел существует бесконечно много. Это непосредственно вытекает из следующего предложения.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed