Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 47

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 168 >> Следующая


a

m+1. m+1

m+ 1. n

n, m+1

1Il •
•• аШ

am+l, m+1 * *
• am+\,n

'ml •
amm

an, m + 1
. a
nn

что и требовалось доказать.

Для приложений теории определителей теорема Лапласа, в основном, нужна именно в частном случае определителя ступенчатой матрицы.

124

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

[ГЛ. IV

Пример.

2 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 2 3 0 0 3 1 с P

О О

О О

2 5

3 7

11 2 ІЗ 4

2 3 1 с P

О О

О О

О О

2 5

3 7

1 2 3 4

12 5 3 7

= (-2)-(-3)-(-1)= -6.

Мы дважды применили теорему об определителе ступенчатой матрицы.

2. Умножение матриц, разбитых на клетки. Пусть матрица разбита на части горизонтальными и вертикальными линиями, идущими через всю матрицу. Получившиеся части называются блоками или клетками, а исходная матрица называется блочной или клеточной. Блочную матрицу можно рассматривать как матрицу, элементами которой являются матрицы.

Оказывается, что основные действия над клеточными матрицами можно производить по тем же правилам, что и над матрицами из чисел (или из элементов данного поля). Ho1 разумеется, должны быть выполнены надлежащие требования на разбиения, чтобы все нужные действия имели смысл.

Если Л и ? — две матрицы одинакового строения и они разбиты на клетки одинаковым образом, то лх можно складывать по клеткам. Это очевидно. Пусть теперь А есть mX^-матрица, В есть k X «-матрица, С = AB, & = Ai + ... -f- ks. Матрица А разбита на клетки Лар, а= 1, р, ? = 1, s, так, что ширины горизонтальных полос (в числе р) безразличны, вертикальные же полосы имеют ширины ki, ks; соответственно В разбита на

клетки SYS, Y=I.....s> 6=1, q, ширины горизонтальны^

полос которых равны ku ..., ks, ширины вертикальных (в числе q) безразличны. Матрицу С разобьем, на клетки C11V так, что горизонтальные полосы по ширине такие же, как соответствующие Горизонтальные полосы матрицы Л, а вертикальные полосы — как соответствующие вертикальные полосы матрицы В. В этих предположениях Лар?ру имеет смысл при любых а, р, Y и Сау =

s

2 ЛавВВу.

Для доказательства рассмотрим два крайних случая. Сначала допустим, что матрица Л разбита только на горизонтальные полосы Ai, Ар, матрица В —только на вертикальные полосы Si, Bg и матрица С — соответственно на р полос по горизонтали и q полос по вертикали. В этом случае субматрица Сау матрицы С есть произведение полосы Аа на полосу By.

дальнейшие свойства определителей

125

Теперь допустим, что А разбита только на вертикальные полосы Ai, A3 ширины ki, ks соответственно и В разбита только на горизонтальные полосы S1, .... Bs ширины k\, ks соответственно. В этой ситуации матрица С на клетки не разбивается. Имеем:

Cti={anb,i+.. .+aikbkil)+(at,ki+lbki+u j + ... + аІ?кі+кЬк-+кі,])+ ...

Слагаемые в скобках суть элементы в позиции (і, /) матриц AiBi, A2B2, ... Поэтому С == AiBi + A2B2 + ... + ASBS.

Справедливость общего утверждения теперь получается непосредственно. Сначала нужно разбить А на горизонтальные полосы и В на вертикальные. Соответствующие клетки матрицы С равны произведениям горизонтальных полос матрицы А на вертикальные полосы матрицы В. Каждое такое произведение вычисляется согласно второму частному случаю как сумма произведений клеток матрицы А, на которые разбиты горизонтальные ее полосы, на клетки матрицы В, на которые разбиты ее вертикальные полосы.

3. Умножение матрицы на вспомогательную матрицу как линейное преобразование строк (столбцов). Рассмотрим произведение C= AB двух матриц А и В. Разобьем матрицу В на клетки, считая клетками столбцы В, матрицу А рассмотрим как состоящую из одной клетки. Соответствующими клетками их произведения С будут столбцы. Получим A(Bx, B2, Bn) = {ABx, AB2,ABn). Здесь Bu B2, Bn — столбцы В и, соответственно, ABx, AB2, ...

ABn — столбцы С. С таким представлением произведения мы уже встречались.

Теперь примем за клетки В ее строки:

В

в.

'2

B =

а за клетки А — ее элементы: А

этом пред-

ставлении

AB =

CinB1 + ... +ахкВк U21B1 + ... +а2кВк

aml?l+-"+amfe?ft

так что строками матрицы AB оказываются линейные комбинации строк В.

126

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

[ГЛ. IV

Аналогично, расщепление А на строки дает:

расщепление же А на столбцы дает

{Ai

Au)

кп '

+ bMAk,

ЬщАі+ ... + bknAk).

Таким образом, умножение матрицы на некоторую вспомогательную матрицу слева равносильно линейному комбинированию строк матрицы, умножение справа — линейному комбинированию столбцов.

Рассмотрим матрицу ец, іф\, элементами которой являются 1 на месте (І, /) и нули на остальных местах. Умножение слева некоторой матрицы на ец переставляет /-ю строку матрицы на і-е место, а все остальные строки заменяет нулями. Квадратная матрица E -f- сєіі называется матрицей трансвещии или матрицей элементарного преобразования. Умножение слева на E -f- сец равносильно прибавлению к І-Й строке /-й строки, умноженной на с, с сохранением всех остальных строк. Такие преобразования неоднократно применялись нами по различным поводам. Умножение на ец справа переставляет і-й столбец на у'-е место, заменяя нулями остальные столбцы. Умножение справа на E -{- сец равносильно добавлению к і-му столбцу /-го, умноженного на с.
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed