Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 46

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 168 >> Следующая


Если г = т = п, т. е. если матрица коэффициентов системы квадратная с не равным нулю определителем, этим способом решение системы сводится к решению системы с треугольной матрицей

C11X1 + ... + C1nXn = db

спплп "я

,при C11 ф 0, ..., Спп Ф 0. Обычно добиваются того, чтобы C11 = ... =с„ = \. Для этого каждый раз, прежде чем добавлять с нужными множителями уравнение к последующим, делят обе части уравнения на коэффициент при исключаемой неизвестной (схема единственного деления метода Гаусса). Преобразование системы к системе с треугольной матрицей называется прямым ходом метода Гаусса. Последовательное вычисление неизвестных в порядке хп, Xn-I, ¦ ¦ ¦, X1 называется обратным ходом. Легко подсчитать, что число арифметических действий при применении метода Гаусса ненамного больше числа арифметических действий для вычисления одного определителя. Метод Гаусса до настоящего времени остается одним из лучших методов решения систем линейных уравнений.

§ 5. Дальнейшие свойства определителей

1. Теорема Лапласа. Теорема, о которой будет идти речь в этом пункте, является глубоким обобщением разложения определителя

(аи ••• аы \

по элементам строки. Пусть ^=I.......J— квадратная

\а . ... а /

ЯІ яя

матрица порядка п.

Напомним, что минором порядка k для этой матрицы называется определитель матрицы, составленной из элементов, находящихся на пересечении некоторых выбранных k строк и k столбцов. В общем виде минор порядка k можно записать в форме





а




Здесь аь ак— номера выбранных строк Gt1 ¦< а2 <С ... < ак,

и P1.....?fe — номера выбранных столбцов, P1 ¦< ?2 ¦< ... ¦< ?k.

Минором, дополнительным к данному минору порядка к, называется минор порядка n — k, матрица которого получается из исходной посредством вычеркивания строк и столбцов, содержа-

122

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

[ГЛ. IV

щих данный минор. Алгебраическим дополнением к данному минору называется дополнительный минор с множителем

< — l)a, + ...+aA+e, + ...+?b

Теорема 1 (теорема Лапласа). Пусть в матрице определителя выбраны k строк. Определитель равен сумме произведений всех миноров порядка k, составленных из этих строк, на их алгебраические дополнения.

Например, если для определителя

выбрать первые две строки, теорема Лапласа дает

0Il
«12
аіз
а
14

«21
°22
а23
а
24

азі
а32
азз
а
34

«41
а42
а43
а44

а42 «44

+

а21 а24

е32 *42

+

а12 «13

°31 «34

а,2
«14

азі
азз
4-
а13
а14

«3!
a32

а22 °23

«41 «44

«22
«24

«4.
«43
I
«23
а24

°4.
°42

+

Доказательство теоремы Лапласа довольно громоздко. В конце курса, в главе, посвященной внешней алгебре, теорема Лапласа появится как почти очевидное утверждение.

Мы ограничимся доказательством важного частного случая, именно, формулой для определителя ступенчатой матрицы. Ступенчатая матрица устроена так:


0U а2|
а12 а22
¦ аш
¦ а2т
О О
.. О .. О

А =
Пт!

атт
О
.. О


am + l.I
ат+1.2 *
•• ат+1.т
ат+1.т+1 '
" ат-И. п



ап2
.. а
пт
ап. т+1
'' апп

Если к определителю ступенчатой матрицы применить теорему Лапласа, исходя из первых т строк, то лишь один минор будет отличен от нуля, именно, левый верхний, и его алгебраическим дополнением будет минор, составленный из последних п — т строк и столбцов.

Согласно теореме Лапласа

del А =

ап . "2? • •
• аш
¦ а2т

am+t, т+1 •
• а,н



атг ¦
'' атт

ап, т+1


§91

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

123

Этот частный случай теоремы мы сейчас докажем. При т = 1 утверждение теоремы очевидно. Далее проведем индукцию по порядку т минора из левого верхнего угла, допустив, что для левого верхнего углового минора порядка т— 1 теорема верна. Введем следующие обозначения. Через осц, ai2, am обозначим алгебраические дополнения элементов первой строки определителя

Im

ml

, Через бц, OI2, . . . , бі«

соответствующие миноры.

Далее, через An, А\2, А\п обозначим алгебраические дополнения элементов первой строки в определителе detЛ и через Au, A]2, Ain — соответствующие миноры.

Разложим определитель det А по элементам первой строки. Получим

deti4=a„i4„ + ... +oim^lm =

m

^anAn-auAl2+ ... +( -1Г+,аІМДІда= E (- 1)*+4*A».

fe=i

Присмотримся к тому, что представляет собой минор А)*. Его матрица получается вычеркиванием первой строки и k-ro столбца из матрицы А. Останется снова ступенчатая матрица. Ее левый верхний угловой минор имеет порядок т—1, и его матрица есть результат вычеркивания первой строки и ft-ro столбца из матрицы

/0Il ••• «im \ Wl ••• am,J

Правый нижний угловой минор такой же, как у

матрицы А. В силу индуктивного предположения

Au = OiS

Поэтому

т

deM=E(-l)*+'alftdlfe

лі + іі m+1

a

m+1, n

A=I

я, m+1

m+1,m+1

m+1. я

m

A = I

я. m+1
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed