Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Фаддеев Д.К. -> "Лекции по алгебре" -> 45

Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.

Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие — M. Наука, 1984. — 416 c.
Скачать (прямая ссылка): lektsii-po-algebre.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 168 >> Следующая


' Xr+\Zr+\ — • • • — KnZn-

Таким образом, zr+i, Zn — такие линейно независимые решения, что все решения являются их линейными комбинациями. Такая совокупность решений называется базисной или фундаментальной.

Буквенное выражение, которое при частных значениях для букв дает все решения данной системы уравнений, называется общим решением этой системы. Для системы линейных однородных уравнений общим решением будет линейная комбинация фундаментальной системы с буквенными коэффициентами.

3. Неоднородные линейные системы. С неоднородной линейной системой

+ ••• + Ct1nXn = blt

am\xl + • • • "f" amnxn — Ьм

связываются две матрицы: матрица коэффициентов

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА

119

и расширенная матрица — с присоединенными свободными членами

ап ... аы *, й21 ••• а2« Ь2

Теорема 4 (Кронекера — Капелли). Для того чтобы система линейных уравнений была совместной {т. е. имела хотя бы одно решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов был равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство, Записав систему уравнений в виде

Хіщ + ... + XnIin = Ь,

ще Uu Un—столбцы матрицы коэффициентов и Ь — столбец свободных членов, мы видим, что для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы столбец Ь был линейной комбинацией столбцов Ui, Un- Для этого равенство рангов, конечно, необходимо, но оно и достаточно, ибо если ранги одинаковы, то базис для Uu -. •, Un будет базисом и для щ, ..., и,„ Ь, так что Ь есть линейная комбинация базисных столбцов для их, . ¦ ¦, ип.

4. Строение множества решений неоднородной системы. Теорема 5. Общее решение неоднородной системы линейных

уравнений равно сумме частного решения и общего решения однородной системы с той же матрицей коэффициентов.

Доказательство. Пусть X0 — какое-либо частное решение системы Ax = b линейных неоднородных уравнений. Тогда Ax0=Ь, и система Ax = Ь равносильна Ax = Axq, "или А(х — .V0) = 0. Поэтому X — Xo должно быть решением однородной системы с той же матрицей А. Общее решение системы Ax = Ь получится, если взять ж — х0 равным общему решению однородной системы. Отсюда непосредственно следует справедливость теоремы.

5. Метод Гаусса. Рассмотрим метод решения системы линейных уравнений путем сведения его к решению системы с трапециевидной (в частности, с треугольной) матрицей коэффициентов — так называемый метод Гаусса. Пусть

ац*1+ ••• -т-ЩпХп = bi,

amlxl ~Т" • • • +' OmnXn — Ьт

— система линейных уравнений. Уравнение Ci(OuXi+ ... + O1nJc) + ... +ст(ат\Х\ + ... + а

= Cioi + ... + стЬт

называется линейной комбинацией уравнений данной системы. Очевидно, что каждое решение исходной системы будет решением и для линейной комбинации.

120

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

[ГЛ. IV

Две системы линейных уравнений называются линейно эквивалентными, если каждое уравнение первой системы есть линейная комбинация уравнений второй системы и каждое уравнение второй системы есть линейная комбинация уравнений первой системы. Линейно эквивалентные системы эквивалентны и в обычном смысле— они одновременно совместны или несовместны и, в случае совместности, имеют одинаковые множества решений.

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называем умножение уравнения на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число. Ясно, что элементарные преобразования переводят систему в линейно эквивалентную.

Теорема 6. Любая система линейных уравнений приводится посредством элементарных преобразований и, быть может, изменения нумерации неизвестных к системе с трапециевидной матрицей. В частности, для системы п уравнений с п неизвестными с не равным нулю определителем матрицы коэффициентов система приводится к системе с треугольной матрицей.

Доказательство. Сделаем последовательность элементарных преобразований так, чтобы матрица коэффициентов привелась к трапециевидной форме. Возможно, что при этом придется изменить нумерацию неизвестных (и соответствующих столбцов матрицы коэффициентов). Если ранг г матрицы коэффициентов меньше числа уравнений ш, то система примет вид:

CnX1 + ... + ctrxr + cUr+lxr+l + ... +сыхп = du

crrxr ~Т~ Cr, r+lxr+l + • • • ~\~ crnxn — СІГ,

0 =dr+i.

0 =dm.

Равенства, следующие за r-м уравнением, могут быть противоречивы, если хотя бы одно из чисел dr+u dm отлично от нуля. Если же все они равны нулю, то последние m — r равенств не несут никакой информации и могут быть отброшены. Тогда, если г <. п, то неизвестным хг+и ..., хп можно придавать произвольные значения. Неизвестные х\, .... хг найдутся из решения системы с

/с,, ... с1г\

треугольной матрицей I......). Эту систему удобно ре-

Vo ... CnJ

шать, определив из r-го уравнения хг, затем из (г—1)-го x,-i и т. д. Если сохранить за неизвестными хг+и .... Xn буквенные

дальнейшие свойства определителей

12t

,обозначения, мы можем выразить через них х\, ..., хг и получить ,общее решение системы. Если г = п, то система (в случае совместности) имеет единственное решение.
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed