Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
9. Определение ранга матрицы при помощи элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями совокупности строк называются преобразования трех видов: перестановка строк местами, умножение строки на отличное от нуля число, прибавление к строке строки, пропорциональной другой строке. Очевидно, ЧТО при каждом из этих преобразований совокупность строк превращается в линейно эквивалентную. Для первых двух преобразований ЭТО Совершенно ЯСНО, ДЛЯ Третьего: ЄСЛИ Vi = Ui + CCUj, Vk = Uk
при Ігфі, то Ui = V1—¦(XVj, Uk = Vk при кф і. Поэтому ранг совокупности строк не меняется при элементарных преобразованиях.
Теорема полностью доказана.
Ясно, что то же условие det А Ф 0 является необходимым и достаточным для линейной зависимости столбцов матрицы. Отсюда непосредственно следует, что верна следующая теорема.
Теорема 12. Для существования нетривиальных решений системы п линейных однородных уравнений с п неизвестными не только необходимо, но и достаточно, чтобы определитель матрицы коэффициентов системы был равен нулю.
Напомним, что необходимость была установлена выше как следствие из теоремы Крамера. Достаточность следует из того, что отыскание решения системы
UnX1 + ... +аыхп = 0,
116
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
ггл iv
Матрица вида
"п "-12 0 с22
C2k С2, ft+1
in
C2n
0 0 0
0
0 0
-kk
Cb,k+\ 0
о -
при Сц Ф О, С22 Ф 0, ...,
«ой. Легко видеть, что Действительно, минор
Ckk Ф 0 называется верхней трапециевид-ранг трапециевидной матрицы равен k.
"12 с22
"lft
"ftft
— CUC22 .•
Cftft
отличен от нуля, все же миноры порядка k -f-1 и выше равны нулю, так как у них имеется хотя бы одна нулевая строка.
Предложение 14. Любая матрица за счет элементарных преобразований над строками и, быть может, перестановок столбцов может быть преобразована в трапециевидную.
Доказательство. Если матрица не нулевая, она содержит ненулевой элемент, который посредством перестановок строк и столбцов можно перевести в левый верхний угол.
Итак, пусть матрица имеет вид
fa,
»22
"in »2«
"ml m2
, причем ац Ф 0.
Теперь сделаем элементарные преобразования: ко второй строке прибавим первую, умноженную на —а2\/ац, к третьей — первую, умноженную на —Озі/otu, и т. д. После этих преобразований придем к матрице
"12 322
"in а2п
/
аш2
Если матрица
(s22 ... O2n \ аш2 ••¦ amn J
равна нулю, процесс окончен
Если нет — то сначала за счет перестановок строк и столбцов добьемся того, чтобы элемент в позиции а'п стал отличен от нуля.
J 4] системы линейных уравнений общего вида Ц7
ООО
«12 «22 0
аіз •
«23 • п
«33 •
«In
• «2п
и
• а3п
0
0
Il
«тЗ •
Il
Продолжаем процесс до тех пор, пока не исчерпаем все строки или не придем к очередной матрице, равной нулю. В результате получим трапециевидную матрицу.
§ 4. Системы линейных уравнений общего вида 1. Однородные системы.
Теорема 1. Для того чтобы система линейных однородных уравнений
all*l + а12*2 + ••• +0In-^n = O» o21*l + ^22-^-2 + • • • + а2пХп = 0,
omi*i + CIn12X2 + -.. + annxtt — 0
имела нетривиальные решения, необходимо и достаточно, чтобы, ранг матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных.
Доказательство. Система может быть записана в виде одного равенства
*l«l + *2«2+ ... +XnUn=O,
где Ui, ы2, Un-столбцы матрицы коэффициентов. Нетривиальные решения системы порождают коэффициенты нетривиальных линейных зависимостей между столбцами. Для их существования необходимо и достаточно, чтобы ранг был меньше числа столбцов, т. е. числа неизвестных.
2. Строение множества решений системы линейных однородных уравнений. Сейчас нам удобно представить систему в виде
Ax = 0,
где А — матрица коэффициентов, х — столбец из неизвестных.
Предложение 2. Если столбцы Zi, z2, z* — решения системы Ax = 0, то любая их линейная комбинация c\Z\ + c2z2 + ... ... +ckZk тоже есть решение.
Действительно, A(CiZi + c2z2 + ... + ckzk) = cxAzi + C2Az2 + ...
+ckAzk = 0.
Теорема 3. Все решения линейной однородной системы являются линейными комбинациями линейно независимых п — г ре-
Затем добавим к третьей строке вторую, умноженную на — а32/а'22, и т. д. Придем к матрице
118
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
[ГЛ IV
шений, где п — число неизвестных, г — ранг матрицы коэффициентов.
Доказательство. Запишем снова систему в форме
XiU1 + X2U2-Y- ... +XnUn = O,
где «і, up, ип — столбцы матрицы коэффициентов. Среди них имеется базис из г столбцов. Для удобства записи будем считать, что это ии и2, иг, иначе можно изменить нумерацию неизвестных и, вместе с ними, столбцов. Запишем, что иГ+и .... ип суть линейные комбинации ии и2, ..., иг. Это приводит к равенствам
игЛЛ =br+l, 1U1 +br+l, 2Щ + ... +br+l,rur,
un = bniUi + bn2u2+ ... +bnrun
откуда следует, что столбцы zr+i = (br+i, і.....br+i,r, —1, 0, ...
0)т, .... zn = {bn[, Ьпг, 0, —1)т дают решения системы. Они, очевидно, линейно независимы. Пусть х = (х*, .... x"rt х*+1, я*)- еще какое-нибудь решение системы. Тогда у = X + x*r+lzr+l + ... + x*nzn тоже является решением системы. В этом решении все компоненты, начиная с (г + 1)-й, равны 0. Следовательно, и все остальные компоненты равны нулю, ибо столбцы ии • • •. ч-г линейно независимы. Итак, у = 0, т. е. к =